C- - Tr. tUGeom. (l"Parlie
segment et que ses côtés passent par les exirémités de h corde sous-teiidante. Ainsi les angles ACB, AEB, sont inscrits dans le segment ACB, et l'angle AMB est inscrit dans le segment AMB.
Tous les angles insciits dans un même segment sont égaux; ainsi, les angles ACB, AEB, sont égaux comme ayant l'un et l'aulre la moitié de l'arc AMB pour mesure.
Tout angle inscrit dans l'un des deux segments déterminés par une même corde est le supplément d'un angle quelconque inscrit dans l'autre segment. Ainsi les angles ACB, AMB, sont supplémentaires, car leurs mesures } arc AMB el } arc ACI! forment en somme la moitié de la circonrérence.
7'out angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant que ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un demi-cercle; car l'arc compris entre les côtés de l'angle est alors inférieur, égal ou supérieur à une demi-circonférence.
On dit qu'un segment de cercle est capable d'un angle donné, lorsque les angles inscrits dans ce segment sont égaux à l'angle considéré; ainsi le segment capable d'un angle droit e.ft un demi-cercle.
THÉORÈME
132. Tout angle BAC, formé par deux sécantes qui se rencontrent à l'intérieurdu cercle, a pour mesure la demi-somme des arcs BC et DE compris entre ses côtés et entre ses côtés prolongés (fig. 92).
En effet, en menant DC, on voit que l'angle BAC, extérieur au triangle ACD, est égal (73) à la somme des angles inscrits ADC, ACD, qui ont respectivement pour mesure ^ BC et -; DE.
yGoosle
Î.IVIIE n. — I,* CIRCON'FÉÏlEîJCE DE ClIHCr.E. G-j
TliïlORÈME.
1S3. Tout angle BAC, formé pnr deux; sécantes qui sn ren-
i:onlre.nt hors du cercle, a pour mesure la demi-différence de
l'arc concave BC el de l'arc convexe DE compris entre ses
Eli effet, en menant ÏÎC, on voit que l'angîe BDC, extérieur uti triangle DAC, est la somme des angles A et C; par suite, l'angle A est l'excès de l'angle BDC sur l'angle G; sa mesure est donc l'excès de -j BC sur {■ DE, c'est-à-dire -^ { BC — DE).
En faisant toarner autour du sommet A l'un des côtés, ou même les deux côtés de l'angle, jusqu'à ce qu'ils deviennent langenls à la circonférence, on voit que le théorème subsiste pour l'angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent hors du cercle, et pour l'angle de deux tangentes,
Corollaire.
\^k. Dans la portion de plan située au-dessus d'une droite\i£., le Heu des points d'où l'on voit cette droite sous un angle donné est un arc de cercle passant par les extrémités B el C de cette droite [fig- 94)-
En effet, soient A un point du lieu et BMACN la circonférence déterminée par les trois points A, B, C. i"De tout point M (le l'arc BMAC on voit la droite BC sous un angle égal à BAC{131); 2" de tout point 1 pris à l'intérieur du segment BMAC, on voit la droite BC sous un angle BiC plus grand que BAC, puisque (132) sa mesure excède la moitié de l'arc BNC; 3° de tout point E extérieur au segment BMAC et situé au-dessus de la droite BC, on voit cette droite sous un angle BEC moindre que BAC, puisque sa mesure est plus petite que la moitié de l'arc BNC ( 133 ). L'arc BMAC est donc le lieu cherché.
11 résulte de là que l'arc BA'C, sur lequel s'applique l'arc BMAC, lorsqu'on replie la figure autour deBC, est, au-dessous de BC, le lieu des points d'où l'on voitla droite BC sous l'angle donné.
Donc, enfin, le lieu des points d'où Ponvoit une droile'BC sous an angle donné se compose de deux arcs de cercle égnmr
entre eux et passant par les extrémités JS et C de celte droite Remarquons, en outre, que l'ensemble des arcs BNC,BN'C, représente le lieu des points d'oii l'on voit la droite !ïG sous un angle supplémentaire de l'angle considéré (131 ).
r II Fi^;. 9.-..
Si l'angle considéré esl droit, les deux arcs BAC, B A' 0, son! des demi-circonférences décrites sur BC comme diamètre. Donc, le lieu des points d'ofi l'on voit une droite sous unan^^le droit esl le cercle décrit sur cette droite comme âiamètrf-
THÉORÈME
135. Dans tout quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires.
En effet [yîg'. gS], considérons par exemple les angles opposés, B et D. La corde AC détermine deux segments ABC, ABC, et nous avons vu (131) que tout angle D inscrit dans le segment supérieur est le supplément de tout angle B inscrit dans le segment inférieur.
Rëcipboqueiuekt, si, dans un quadrilatère convexe ABCD, deux angles opposés B «( D sont supplémenîaites, le quadrilatère est inscriptible; en d'autres termes, la circonférence déterminée par les trois points A, B, C, passera par le quatrième sommet D.
En effet, le sommet D esl un point situé au-dessus de AC, ei d'où l'on voit la corde AC sous un angle supplémentaire de l'angle B; or l'arc AMC est le lieu des points du plan qui jouissent de cette propriété (13?f.j,
!CE IIE ClillC!.!!. W4
S IV. - CONSTIiUCTinN DES ANGLES ET DES TRIANGLES.
NOTIONS î'Rfii.IillINAllir.S.
136. Les deux [irincipaux inslruments employés dans 1» consiruciion graphique des figures sont la règle et le coinpus. Cliaciin sait comment on li-ace des lignes droites avec la règle et des circonférences avec le compas.
On fait d'abord tout le dessin au crayon ; on exécute ensuite !a mise à l'encre à l'aide d'un tire-ligne à branches égales et que l'on tient perpendiculairement au pian du papier. Les données et les résultais sont représentés par un train plein ou continu; on représente par un trait pointillé ou interrompu \iis lignes de construction, c'est-à-dire les lignes qui servent à déduire les résultais des données.
En pratique, lorsqu'on détermine une droite par deux points ^ il convient que ces deux points ne soient pas trop voisins l'un de l'autre; sans cela, la moindre erreur sur la position de l'un d'eux enti-aSnerait une erreur notable sur la direction de [a droite.
De même, quand un point est déterminé par la rencontre de deux droites, il faut que ces droites ne se coupent pas sous un angle trop petit; sans cela l'épaisseur inévitable des deux traits laisserait dans l'incerLitude sur la véritable position du point de rencontre.
PROBLÈME
137. Trouver lapins grande commune mesure de deux lignes droites.
Soient A et B deux droites conimensurablas entre elles; la recherche de leur plus grande commune mesure , c'est-à-dire de la plus grande portion de droite qui soit une partie aliquote de chacune d'elles, repose sur les deux principes suivants :
1° 5( B est une partie aliquote de A, B est évidemment la plus grande commune mesure de A et de B ;
1" 'si A contient m fois R, plus un reste R moindre que !!,
yGoosle
„(j GÉOHÉTIUE TLAKË.
lapins grande commune mesura de A et de !ï est la mfime que celle de B et deR. On a, en effet,
or, loute commune mesure de A ei de B, élani une partie ali- (juotedeB, l'est aussi de mB, el, par suite, de A — mB ou de R. Inversement, toute commune mesure de B et de R, élani une partie aliquote de B, l'est aussi de mB, et, par suite, de mB -!- K ou de A. Donc les communes mesures de A ei de B sont les mêmes que celles de B et de U; et, en particulier, la plus grande commune mesure est la même de pari et d'autre.
D'après cela, on portera Bsur A autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste, B sera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un reste R, on sera ramené à chercher la plus grande commune mesbre de B el de R. On portera donc H sur B autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste, K sera la plus grande commune mesure demandée ; s'il y a un reste K', on sera ramené à chercher la plus grande commune mesure de R et de R'.
li est aisé de prouver qu'en continuant de la sorte on arrivera à un reste qui sera une partie aliquote du précédent. En effet, dans toute division, le dividende est au moins égal à la somme du diviseur et du reste ; le reste est d'ailleurs moindre que le diviseur; donc le reste est inférieur à la moitié du dividende. On voit par la que, dans la recherche de la plus {j'rande commune mesure de A et de B, le premier reste sera
inférieur à ~- ; le troisième reste sera moindre que la moitié
. . ,. . . A , du premier, et, par suite, mierieur a y ; le cinquième resta
sera moindre que la moitié du troisième, et, par suite, inférieur à Tj- ; et ainsi de suite. L'opération ne pourra donc pas se
prolonger indéfiniment, car on tomberait sur un reste moindre que la plus grande commune mesure supposée; ce qui est absurde, puisque, d'après la théorie précédente, la plus grande commune mesure doit diviser exactement les restes successifs.
