I.1ÏBR !l, — lA C]RCONrÉREHCE DU CEUCl.ï

On arrivera (ionc à un reste qui sera une partie aliquole du précédeni, et ce reste sera )a plus grande commune mesure lîemandée.

138. Réciproquement, si, en aiJpliquant le procédé qu'on vient d'indiquer à deux droites données, on arrive à un reste qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le précède, les deux droites considérées seront coramensnrables entre elles, et ce reste sera alors leur plus grande commune

Ainsi, supposons qu'on ait trouvé successivement A =B -ili. îi -^5\i H-R , R^^ 2R' ^H'. R-=3R

et le rapport des deux droites A et B sera représenté par Je

commune mesure de R' et de R" sera, d'après ce qui [trécède, îa plus grande commune mesure lie A et de R.

139. n résulte de là que le procédé précédent, appliqné à dftUï droite" incomœônsurables entre elles, conduira à une série d'opérations iiitermi-

Celte conclusion, absolument rigoureuse en théorie, ne se vérifie pas en pratique} car les restes cessent d'être appréciables au compas. Mais, s'il est impossible de constater de cette manière, ou plus généralement ati moyen d'une opération mécanique quelconque, l'incommensurabilité dfl deux droites, on peut parfois, lorsque les droites résultent d'une construction bien déRnie, démontrer géomctriqiiement leur incommensurabilité en s'appuyant sur la théorie qui précède et en clierchant la loi des restes successifs.

Nous allons, comme exemple, démontrer ainsi quo la diiigoimle AC ci le i:6tè AB d'un carré ABCD sont dcii-v lignes incnmmeJisurables ciiltp, liles.

Le côté AB (j%. 96) étant moindre que la diagonale AG et pkis grand que la moitié AO de cette diagonale, on voit d'abord que, si l'on prend sur la diagonale AG ta longueur AE égale à AB, le reste EC sera moindre que AB.

Comparons maînl.cmmt ce reste EC au col.é Alî ou à Eon égal BG. Si !'oit niènc £F parallèle a 8D, le triangle FEG, rectangle en E, aéra isocèle, puisque l'angle EFG est égal à son correspondant OBC, et, par suite,

h ECF. Donc, dans ce triangle comme dans le triangle analogue ABC, si l'on prend FG égale à EC, le reste GC sera moindre que EC. D'ailleurs, les triangles rectangles ABF, AEF, ayant l'hypoténiise commune et un côté égal, sont égaux, et, par suite, BF est égal à FR ou à EC ou à FG. Donc enfin le côté BC conthn: de::-'-, fois EC, plu--: im rr.M GC moiii/lre qae EC.

Ce dernier résultat, énoncé d'une manière générale, prouve que dans tout triangle rectangle et isocèle le cûté contient deux fois la différence entre l'hypoténuse et le côté, plus un reste moindre que cette différence. Donc, à son tour, le calé EC contiendra deux fnis GC, plas un nouvcait rew: moindre cjuc- GC, et ainsi de suite.

On voit par là que, si l'on applique aux droites AC et AB la règlo prescrite au n° 137, chaque reste contiendra deux fois le précédent, plus un nouveau reste moindre que celui-ci, de sorte que l'opéraUon n'aura pas de fin. Les deux droites considérées sont danc iiicommenriuniblos entre olles.

l'ROBLÈiME.

140. Par un point B â'iuie droit'} BC, mf:ner une seconde droite qui fasse avec la première un angle éj^al à un angle

donné (/g-. 97).

Du point A comme centre, avec wne ouverisire de i"Oinpas

iirbitraîre, mais assez grande, décrivez un arc de cercle qui coupe en D el E les côtés de l'angle donné : avec la même ouverture, et du point B comme centre, décrivez un second arc de cercle GF, qui coupe en F !a droite BC. Prenez avec le compas la longueur de la corde DE (il est inutile pour cela de tracer celte corde), el du point F comme centre, avec cette ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe en H l'arc GF; la droite BU sera la droite demandée.

En effet, les arcs HF el DE ayant des rayons égaux ei des cordes égales aont égaux (100): par suite, les angles au centre HBF, DAE, qui correspondent à ces arcs, sont aussi cgaux (126).

ii-1. On divise îa circonférence en 36o parties égales qu'on nomme degrés, le degré en6o parties égaiesappeiéesH?/;i«/?î. el la minute en 60 parties égales appelées secojuîes. D'après cela, la circonférence contient 36o. 60== 21600 minutes, ou 21 600.60 =::■: 1296000 secondes; la demi-circonférence contient 180 degrés, ou 10800 minutes, ou 645Jooo secondes; enfin le quadrant vaut 90 degrés, ou 54"'" minutes, ou 334000 secondes.

On évalue un arc quelconque en degrés, minutes et secondes de la circonférence. Ainsi l'on dit : un arc de 36 de- ^'rés i5 minutes 21 secondes, que l'on écrit; arc de 36": 5' 21".

Deux arcs Aiï et A' E' {Jig- 98), décrits entre les côlés d'un même angle XOY, de son sommet comme centre, contiennent

Fiit- 9«.

Fis- 99,

la même nombre de degrés, minutes et secondes. En elîet, ia rapport de l'arc AB au quadrant AC est !e même que le rapport de l'arc A'B' au quadrant A'C, puisque chacun de ces vnpports est égal à celui de l'angle XOY à l'angle droit

74 GÉOIIÉIUIE |-LA«ii.

XOZ. Or, comme le quadrant AC vaut 90 degrés de la circonférence OA, el que le quadrant A'C vaut 90 degrés de b circonférence OA', les arcs AB et A'B' vaudront le même nombre de degrés, minutes et secondes de leurs circonférencprespectives.

D'après cela, on appelle angle de o6"i5'?.i" l'angle qui intercepte entre ses côtés, sur toute circonférence décrite fîtson sommet comme centre, un arc de 3(J''i5'2!".

Connaissant le nombre de degrés, minutes et secondes d'un angle, on obtient son rapport à l'angle droit en prenant le rapport de ce nombre de degrés, minutes et secondes à 90 degrés ; il faut avoir soin, bien entendu, d'évaluer les deux angles en unités de même espèce, soit en degrés, soit en minutes, soii en secondes. Ainsi, comme 36" iS' ai" valent iSoSai secondes, el que go degrés renferment 3^4""'* secondes, le rapport di? l'angle deSô^iS'ai'-' à i'angle droit est exprimé par la fraction iSoSït /[55o-]

31*4"^"'* lotjooo

Pour évaluer le nombre de degrés d'un angle, ou pour tracer un angle ayant un nombre de degrés donné, on emploie un instrument appelé rapporteur. C'est un demi-cercle en corne ou en cuivre dont !e bord circulaire ou limbe est divisé en i3o parties égales ou degrés; les rapporteurs qui ont un décimètre de rayon sont mèmedivisés en demi-degrés. Le centre est marqué par un petit trou ou par une petite échancrure.

Pour mesurer un angle DOG [Jîg-. 99), on place l'insiruraent de manière que son centre coïncide avec îe sommet de l'angle, el que le diamètre AB, qui va de zéro à 180 degrés, s'applique sur l'un des côtés 0(j. On lit alors le nombre de degrés de l'angle au point où le limbe esi traversé par le second côté OD,

Pour mener au point 0 d'une droite OG une seconde droite OB, formant avec la première un angle donné, de 49 degrés par exemple, on place l'instrument de manière que son centre soit en 0, et que son diamètre AB coïncide avec OG; puis on marque le point C du papier sur lequel tombe la division 49 (îu limbe; el, après avoir enlevé !e rapporteur, on tire la droite OC.

PROBLÈME

n% Connniss

(intdeu.<.

■ angles rj. et i

trohlèine -/,

Tracez «ne droite indéRnie AB [fig- loo); par l'un de se;; lioints 0, menez une droite OC qui forme avecOA un angle COA ligaî à a; menez par le môme point 0 une autre droite OD qui l"asse avec OB un angle DOB égal à S. L'angle COD sera l'angle cherché; cariasommedestroisangles formés autour du point 0 et au-dessus de AB équivaut à deux angles droits (72),

SCOLIE

143, Nous allons apprendre à construire un triangle, connaissant : 1" un côté et deux angles ; a" deux côtés et l'angle compris; 3° deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux; 4" ^^^ trois côlés. Dans ces quatre problèmes, nous désignerons les trois côtés par a, b, c, et les angles respectivement opposés par A, B, C; ainsi l'angle A sera opposé au côté a, l'angle lî au côté b, i'angle Cau côté c.

PROBLÈME

14.4. Construire an iriangie, connaissant un côté a et deux angles.

On peut donner les deux angles B et C adjacents au côté a, ou bien l'angle opposé A el l'un des angles adjacents; on ramène ce dernier cas au premier en commençant par chercher le troisième angle (142).

Supposons donc connus le côté a el les deux angles adjacents B el C

Après avoir tracé une droiie BC [fig. loi ) égale à a, menez au point B une droite BA formant avec BG et au-dessus de cette

ligne un angle ABC égal à l'angle donné B; menez de même au point C une rfroite CA formant avec CB,.el au-dessus de celle ligne, un angle ACB égal à l'angle donné C. Le poinl de rencontre A de ces deux droites sera le troisième sommet du triangle cherché.

Pour que le problème soit possible, il faul et il suffit que les deux droites BA, CA, se coupent, c'est-à-dire (66) que la somme des deux angles B et C soil moindre que deux angles droits-

PROBLÈME

145. Consirnire an triangle, conimissnnt deux calés a cl h et l'angle compris C.

Tracez une droite CB{/''g-. 102) égale à a; au point C, menez une droite CA formant avec la première un angle ACB égal à l'angle donné C; puis prenez sur cette droite, à partir du pointe, une longueur CA égale a b; enfin tirez AB, et vous aurez le triangle cherché,

PROBLÈME

146. Cousu litre un triangle, <H faufile B opposé à l'un d'eiir,

Tracez une droite BC (,%. f<)3) égcle à a, et au point I; menez une droite BA formant avec la première un angle A!IC égal à l'angle donné B; puis, du point C comme centre, avec

une ouverUire de compas égale à 6, décrivez tin arc rie cercle, ïi A est un point d'intersection da côlé BA et de cet arc de cercle, il suffira de tirer AG pour avoir un triangle ABC satisfaisantaux conditions exigées.

Discutons maintenant ce problème, c'est-à-dire cherchons les conditions que doivent remplir les données pour que le [iroblème soit possible, et, dans ce cas, les diverses solutions qui peuvent exister.

I" l'angle B élniil nigii (Jig. [o3), pour que le problème iO\X possible, il faut que l'arc de cercle rencontre le côté BA, c'est-à-dire q«e le côté b soit au moins égal à la perpendiculaire CD abaissée du point C sur BA.

Si le côté b est égal à cette perpendiculaire CD, le cercle louche BA en D, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle rûctangle BCD,

Si le côté b est compris entre la longueur de la perpendiculaire CD et celle du côté a, le cercle coupe la droite BA en deux points A ei A' situés au-dessus de B, et de part et d'autre de D; il y a donc deux solutions distinctes ; ce sont les inangles ABC, A'BG.

Enfin, si le côté b est plus grand que a, le point A' passe au-dessous de B, et le triangle correspondant doit être rejeté, puisque son angle en B n'est plus l'angle donné, mais son supplément; il n'y a donc qu'une solution ; c'est le triangle ABC.

2" L'angle B étant obiits [Jig. ii>4). la perpendiculaire CH

ne tombe plus dans l'angle B, mais dans son supplément [ïk): et, pour que le problème soit possible, c'est-a-dire pour que

78 GÉOMIîVRlB TLANE.

l'src de cercle coupe la droite HA au-dessus de G, il faut que !c côté î> soîl plus grand que a : ce que l'on pouvait prévoir, cgr dans tout triangle au plus grand angle doit être opposé le plus grand côlé. D'ailleurs, lorsque celle condition est remplie, les deux points d'intersection A et A' sont de part lm d'autre de R; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle en B est le supplénnent de l'angle donné, et il n'y a qu'inn; solution : c'est le triangle ABC.

3° L'angle B étant droit, le problème est impossible si 6 est inférieur ou égala a; il admet une solution unique si b est supérieur à a.

La discussion est résomée dans le tableau suivant :

' /; < CD - problème impossiWe,

H^CD une sololion,

^'S" j (7 > i > CD deux solutions,

\ b - (T ou > (I . . . . une solution.

i i --' (7 ou = (7 problèmo impossible,

B droit ou obius. I ^^.,^ une solution.

Ainsi, lorsque h est supérieur à a, le problème a toujours une solution et une seule; en d'autres termes, on peut toujours construireun triangle, elun seul, connaissant deux côtés cl l'angle opposé à l'un d'eux, pourvu que l'angle donné soîi opposé au plus grand des deux côtés donnés. De là ce théorème :

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés éganir vhacun à r.liaeun, ainsi que l'angle opposé an plus grand de ces deux eûtes.

PROBLÈME

U7. Construire un triangle connaissant les trois côtés a, 6, c. Tracez [fig. io5) une droite BC égale à a, c'est-à-dire au plus

grand des côtés donnés. Du point C comme centre, avec une