AM

Si les deux points Aet B sont de part et d'autre de XV {fg. i3i), on voit, en substituant, comme précédemment, au point B son symétrique B' par rapport à XV, qu'il suffit de tirer AB', qui coupe XY au point cherché M.

3° Le premier des deux problèmes que nous venons de traiter se présente en Optique dans la théorie des nùi-oirs plans. L'angle d'incidence étant égal à l'angle de réflexion, pour qu'un rayon lumineux issu du point B vienne, après réflexion sur le miroir XY, passer par A, il faut qu'il soit dirigé vers le point M où le miroir est rencontré par la droite qui joint le point A au symétrique B' du point B. On voit par là quo lo chemin décrit pur la lumière est te plus court parmi ceux qui vont de B en A en passant par un point de XY.

LIVUE 11. — tA CIRCONFËRSMGE DE CERCLE, lO'i

Il en est de mémo lorsqu'un corps élastique, comme une bille de billard, vient se réfléebir aor la bande XY; pour que, lancée da point B, elle arrive en A, il faut qu'elle frappe ïa bande au point M où celle bande est rencontrée par AB'. H est aisé, d'après cela, de résoudre \c,prnblcinc du billard polygonal :

Deux poinls V et Q étant marqués sur un billard poljgnnal^XZXi . . .T, de II côtés, vers quel pnint M de la bande XY faut-il lancer une bille du point P, pour qu'après réflexions sur les bandes successives XY, YZ, ZU, ..., elle vienne passer par le point Ql

Quel que soit le point de la bande XV vers lequel on tance la bille, le prolongement de la route suivie par la billo après la réflexion passera par le point Pi symétrique de P par rapport à XY; après la seconde réflexion, la bille se mouvra sur une droite issue du symétrique Pj deP, par rapport à YZ, ... ; en continuant ainsi, on obtiendra un point P„ par lequel doit passer le prolongement de la droite que suit la bille après la dernière réflexion; comme cette droite doit aussi passer par Q, la droite PnQ déterminera par son intersection avec la dernière bande le point où la bille doit la frapper; et l'on pourra dès lors, en remontant, tracer fa route complète de la bille. Le problème ne sera évidemment possible que si les poinls d'incidence se trouvent sur les bandes ellesmêmes et non sur leurs prolongements.

En faisant la ligure pour ie cas du billard rectangulaire, on pourra constater que, pour que la bille revienne nu point de dépari, il faut la lancer parallèlement à l'une des diagonales du rectangle.

4° Construire un pofygone connaissant en /losilinn les perpendiculaires a,, «s, . . . , m,, ckuées sur les mi'ieux des calés (Petersen).

Soit A le sommet inconnu qui est situé sur le côlc perpendiculaire à a, ; prenons dans le plan un point arbitraire P, et conslroisons successivement le symétrique P] de P par rapport à aj, le symétrique Pj de P, par rapport à a,, ...,et ainsi de suite jusqu'au symétrique Pb par rapport à ol,,. Si l'on avait opéré sur A comme l'on vient de le faire sur P, le point A,( auquel on serait parvenu serait le point A lui-même, car Ai, Aï, . . . , Ao seraient les sommets successifs du polygone. Or la longueur d'une portion de droite étant égale à celle de la droite symétrique, on aurait donc AP = APb ; la perpendiculaire élevée sur le milieu de PP« passe donc par le sommet inconnu A. Un deuxième point arbitraire, Q sur lequel on opérera comme sur P, fournira un deuxième lieu du sommet A, qui sera ainsi déterminé par l'interseotion de deux

On résout par dés considérations analogues la question qui consiste à tracer le polygone de périmètre minimum ayant respeclii'ement un sommet sur chacune des droites indéfinies qui forment les côtés d'un polygone donné, attendu que deux eôlés consécutifs du polygone inconnu doivent

Io4 GËOHËTRIE PLAN!!.

(r) Être également incliiiôs sur la droite qui contient leur point d'intersection.

Nous ne donnerons qu'un exemple de l'emploi dos rotations, nous proposant de revenir sur ce sujet après la théorie de l'homoibélie.

Étant donnés deux cercles 0 et 0' et deux points K et ^ situés sur la circonférence du cercle 0, trouver sur celle même circonférence un point M tel que, si P et Q sont les points où AM et BH rencontrent respectivement la circonférence 0', la droite PQ ait une longueur donnée {fig. i3i bis).

L'angle PO'Q est connu de grandeur, puisqu'il fait partie d'un triangle PO'Q dont on connaît les trois côtés- L'angle AÏ1B est aussi

connu, puisqu'il est Inscrit dans un arc donné. Faisons tourner le triangle O'PA, autour de 0', d'un angle ui égal à PO'Q, de manière à amener O'P sur O'Q. Si A' est (a position que prend ainsi le point A, et si l'on désigne pari l'intersection de PA et de QA', l'angle MIQ sera épi à l'angle de rotation ui ou à son supplément- On connaîtra doiic dans le triangle MIQ deux angles M et I et, par suite, l'angle BQA', Mais B est donné, et le point A' s'obtient en faisant tourner O'A de l'angle w autour do 0'. Donc le point Qsera sur le segment capable de l'angle connu BQA', décrit sur une droite connue BA'; comme ce point Q appartient, en outre, à la circonférence 0', ii sera déterminé-