B' C ^ AC

185. RÉniPROQUËBîKKT, siune droite, issue du sommet d'un angle d'un triangle, divise le côlé opposé en parties proporiionnellss aux côtés adjacents, cette droite est la bissectrice de l'angle considéré ou de l'angle supplémentaire, suivant qu'elle rencontre le côté opposé lui-même ou l'un de ses prolongements.

En effet, eiUre B et C ii n'existe qu'un point D qui divise BC dans le rapport de AB à AC (179); le théorème direct exige donc que ce point appartienne à la bissectrice de l'angle BAC

.fiS' ■40.

i)e même, sur les prolongements de BC, il n'existe qu'un point D' qui divise BC en deux segments soustractifs proportionnels à AB et AC (179); dès lors, ie théorème direci exige que ce point appartienne à la bissectrice de l'angle extérieur BAE (/,y. i4i;.

('OROI.LilllG.

180. Les deux points M et ]>' s;iii^f(>nt h la proportion DR IVR

ils sont donc (180) conjugués harmoniques par rapport ^ la droite BC. Ainsi, les daax côtés d'un angle, la bissectrice de cet an^le et celle de son supplément, déterminant quatre points sur une sécante quelconque, les deux damiers sont conjugués par rapport aux deux autres.

THÉORiCMlî.

187. Le lieu géométrirjue des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport donné est une circoii' Jérence [Jg. i^a).

yGoosle

Il6 GÉOîlÉTnHÎ FLANH-

Soient B et C les deux points fixes, — le ra|)iioi't donné et SI un point quelconque du lieu, c'est-à-clîre un point tel qu'on ait

il existe d'abord, sur la droite indéfinie BC, deux points i]<\

lieu, c'est-îi-dirc (179) deux points D el IV relations

on déduit de là

jm i\m iy B mb

bC^SlC 1)'C~MC'

Ces proportions prouvent (185), la pvemièrG que Mil est l.t bissectrice de l'angle BMC, el la seconde que MD' est la bissectrice de l'angle adjacent supplémentaire. Or, les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires sont rectangulaires. Donc, le point variable M est le sommet d'un angle droit DMD' dont les deux côlés passent constamment par deux points fixes D et D'; tout point M du lieu est donc situé sur la circonférence décrite sur BB' comme diamètre.

Réciproquement, tout point SI de celte circonférence DB' appartient an lieu.

En effet, B' étant le symétrique de B par rapport à la droite BM, désignons provisoirement par P le point où CB' rencontre BM; DP sera la bissectrice de l'angle BPC, el l'on aura

PB BB m

yGoosle

Donc, le point P appartient au lieu; mais, comme tel, il est sur la circonférence DU' et, par suite, il coiincide avec M qui est le seul point, autre que D, commun à DM et à la circonférence DD'. Donc, M appartient au lieu.

188. Lorsque le rapport donné est ég-al à l'unité, D devienl le milieu de BG et D' passe à l'infini (179); le cercle devicut la perpendiculaire élevée sur le milieu de BG (19).

§ H. — LIGNES PflOFORÏIONNIiLLES DANS LE CERCLE.

LÉFIKITIOSS.

189. On dit que deux droites, tracées entre les côtés d'un angle ou de son opposé par ie sommet, sont aiili-parûlliilfs. lorsque la première fait avec l'un des côtés de l'angle donné un angle égal à celui que la seconde droite fait avec l'autre côté.

Ainsi, les deux droites DE et BG {Jîg. i43) sont anti-parallèles par rapport à l'angle BAG, si l'angle ADE est égal à l'angle

^y "''^^ ng. ,^4.

ACB. Alors l'angle AED, que la première droite forme avec !e second côté AC, est égal à l'angle ABC que la seconde droite fait avec le premier côté AB (TC).

THÉORÈME