BÂ=BC.BD
et l'on démontrerait de même la relation CA = BC.CD.
2° Les droites AC et AD étant antiparallèles par rapport à l'angle B, les angles BAD et G sont égaux (189); par suite, si l'on amène le triangle ADB en ADB' en le faisant tourner autour de AT), l'angle B' AD sera égal à l'angle C, et les deux droites AB'et AC seront anliparallèles par rapport à l'angle ADG. On aura donc
ÂÏ3' = B'D.CD ou AD'~BD.GD.
Corollaihe.
223. En joignant un point quelconque A d'une circonférence aux extrémités B et C d'un diamètre (Jlg. i6i), on forme un triangle rectangle (131). De là, une nouvelle manière d'énoncer la proposition précédente :
1° Toute corde AB d'un cercle est moyenne proportionnelle entre le diamffCre BC qui passe par l'une de ses extrémités et sti projection BD sur ce diamètre;
1" La perpendiculaire AD, abaissée d'un point quelconque A d'une circonférence sur un diamètre BC, est moyenne pivportionnelle entre les deux segments BD et CD de ce diamètre.
THÉORÈME
224. Les trois côtés d'un triangle rectangle étant évalués en nombres au moyen d'une unité commune, le carré du nombre qui mesure l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des nombres qui mesurent tes deux côtés de l'angle droit; ou plus brièvement, dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
En effet, en ajoutant les deux relations (222, i") :
ab'^bg.bd, ag'=bg.gd.
AB -hAC =BC[BD~i-GD) ou AB-!-AG=BC,
yGoosle
COROLLAIBEH.
225. Ce théorème permet de calculer l'un des côtés d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres.
Si l'on connaît les deux côtés Z" et c de l'angle droit, l'hypoténuse a résulte de la formule
a'=r /)'+ c', d'où a == \,ib''i- c'.
Ainsi, soient 6^= 3, c:=/f, on a «= \/9-+- ib = \/25 ^ 5.
Si l'on connaît l'hypoténuse a el l'un des côtés b de l'angle droit, on trouve l'autre côté c par la formule
Ainsi, pour a =: 5 et 6^=3, on a c= v'^S — 9^ ^it}=:4>
11 résulte encore de la proposition précédente que le rapport de la diagonale d'un carré au côté de ce carré est égal
à \li. La diagonale AC est en elïet l'hypoténuse d'un triangle rectangle et isocèle ABC [Jig. 162I, dans lequel on a
ÂC'=: JlIs'-:- ÏÏC = 1 .ÂB ,
AB
Ainsi, la diagonale el le côlé d'un carré sont deux droites incommensurables entre elles, puisque leur rapport est un nombre incommensurable. C'est ce que nous avons déjà démontré par la Géométrie pure (139).
THÉORÈME
