BD = BC -1- CD

et, par suite, en vertu d'un théorème connu d'Arithmétique ('),

Bd'= BCV CD% 2BC«CD.

EnsubstituantcettevaleurdeBD danslarelation(i), on trouve

AB"=--Bc'-^GD'-f ÂdV^BC.CD;

(') Le carré de la somme de deux nombres est égal au CArré du premier'^ plus le carré du second, plus le double produit de ces deux nombres.

l4o GÉOMÉTRIE PLANE.

ei, comme le triangle reciangle ACD donne

on a lîiialemeni

AB'=iBC' + Ic'-i-2lJC.CD.

CoBOLLimES.

228, Il résulte des trois ihéorèmes précédents que, dans un triangle, le carré d'un côté est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres, suivant que l'angle opposé à ce côté est aigu, droit ou obtus; donc, réciproquement (7), un angle d'un triangle est aigu, droit ou obtus, suivant que le carré du côté opposé à cet angle est inférieur, égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si a~S, b = i, c=3, l'angle A est droit ei le triangle est rectangle, puisque 26:= i6 -t- g. De même, si « = ii, 0 = 9, c=8, l'angle A est aigu, puisque n' ou 121 est moindre que 9'--- 8% c'est-à-dire que 81 -f- 64 = i^5.

229. Comme application d^ théorèmes qui précèdent, nous allons calculer îes hauteurs d'un triangle en fonction des côtés. Nous désignerons par ABC ie triangle considéré, et par û, b, c, ies longueurs des côtés respectivement opposés aux angles A, B, G.

Cherchons la hauîeur AD = h issue du sommet A. Des deux angles li et C, l'un au moins est aigu; supposons que ce soit l'angle C [fg. i63'). On a d'abord, dans le triangle rectangle ADC (225),

h'^ È'-CÔ', puis, dans le triangle ABC (226),

e'=«=-i- 6'-2«.CD.

On déduit de là

a première relation devient

ou, en vertu d'un théorème d' A rit limé li que ( ')

r"][f'-(»-il-|

-hMr-

Or, si l'on désigne par p le demi-périmètre du triangle ABC, c'est-à-dire si l'on pose

on a

a -I- 0 — c ^ tj) — Q.C = z[p~c).

En portant ces valeurs dans l'expression de h', simplifiant et extrayant la racine carrée, on obtient

Exemple. Tour les hauteurs h, H , h", du triangle dont les coiés soiil i3, 9 et G, on trouve, à i millième près,

THÉORÈME