La somme des carrés de deux côtés d'un triangle est
égale à deux fois le carré de la médiane relative au troisième
côté, plus deux fois le carré de la moitié de ce troisième cûté
{fis- '65).
Fig. i65.
SoieiU ABC le triangle proposé, AD la médiane relative ou côlé BC, et AE la perpendiculaire abaissée du point A sur BC.
l42 GfiOMÉTIilE PLANlî.
L'angle ADB étant aigu, on a, dans le triangle ADB,
Âb'= AdV ÏJD'— aBD.DE.
L'angle ADC étant obtus, on a, dans le triangle ACD,
ÂC'= AD'-î- CD' 4- 2CD.DE.
En ajoutant ces deux égalités et en observant ijue CD = BD, on trouve
(1) AB'+Âc'=2^Vaïïi>\
CoROLLAinËS.
23i. Considérons un quadrilatère ABCD ifig. 166), et soient E eL F les lie. ifi6.
milieux des deux diagonales AC et UD. En appliquant tli(5oi'èiiie qui précède aux triangles ABC et ADC, on a
AB 4- BC' = alËVliBÊ' ,
CÏ3VbA'=aÂE'-i- aDË';
d'où, en ajoutant et en dâsignant par S la somme des cairès des quatre côtés du quadrilatère,
S = 4ÂëV ^(beVdë'),
Or, dans le triangle BED, on a
BËVDE'=2BF'+aÈF\ Dojic, enfin,
S =4ÂËV4BF'-4-4ËF'=Âc'-t-iÏDV4Ëïi'\ Ainsi, dans tout quadrilatère. In somme des carrés des quatre côtés est égale à la somme des carrés des deux diagonales, plus quatre fois le carré de la droite qui unie les milieux de ces diagonales,
Poar que !e quadrilatère BOit un parallélogramme, il faut et il sufËt que les points E et F coïncident (83, 84). Donc, dans tout paraUélo-
LIVHK III. — LES FIGORES SEMULAULES. l'iO
p'amme, la somme des carrés des calés est égale à la somme des carrés des diagonales, et réciproqueraenl, si la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère est égale à la somme des carrés dss deux diagonales, ce <juadHlatère est un parallélogramme.
232. Revenons an triangle ABC (fig. i55). Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de manière que la somme des carrés des côtés AB et AC reste constante, !a relation (i) du n" 230 montre que la valeur do la médiane AD r^estera constante. Donc, le lieu, des /loi/iis dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante est une circonférence ayant pour centre le milieu de la droite qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour trouver le rayon AD fie ce cercle, il sutfll de remplacer dans la relation (i) la somme AB + AC par la coqstante donnée K'; on a ainsi successivement
Oi] voit que le lieu n'existe qu'autant que la coiiditior ~ > iio' ou K > BD /I
233. Enfin, comme dernière application du théorème précédent, noua calculerons les médianes d'un triangle en [onction des cûtés. m étant la médiane relative au côté BG = ii, on a, par la relation (r),
) ', d'où ".
Exemple.
J, 9 et 6,
. Pour les médianes m, irt , in", on obtient, à i millième pivs.
du tiiangle dont les côtés
sont
"ï'= 9,069, TBÉOSIÈME
m"-io,yyo.
23i. La différence des carrés de deux côtés d'an triangle est égale au double produit du troisième côté par la projection de la médiane correspondante sur ce même côté.
Soil ABC le triangle proposé {yî^. i65); reprenons les deus
Âb' = ad' + BÔ' — 2BD-DE, ÂC' = ad' -i- CD ' -^ aCD.DE,
yGoosle
[^^ GÉOiUÉTllIË PLAKE.
considérées au n" 230, et retranchons la premièrt conde, en observant que BD ^= CD ; il viendra
AG
-AB=4BD.DE ou AC"~ AB = aBG.DE,
Corollaire.
233. Si, les points B et C restant fixes, ie somn et A se déplace de façon que ia différence AC ~AB reste constante la relat n précédente prouve que la projection DE de la médiane ne change pas c'est-à-dîro que la proJECtion E du sommet mobile A sur la dro te BL rette fixe. Donc, te lieu des points A, donl la différence AC — AB des carres des distances à deux points fixes G ci B est constante, est une droite perpe/idiailaire à la droite BC jttt unit les deitx points fixes. D'ailleurs, pour avoir la valeur de DE, il suffit do remplacer dans la relation qui précède la différence AC — AB par la constante donnée K' ; on a a
K'= aBG.DE, DE =
BC
THÉORÈME
236. 1,6 produit de deux cotes d'an triangle est égal au produit des deux segments additifs que la bissectrice de leur angle détermine sw le troisième côté, augmenté du carré de cette bissectrice.
En effet, soient \fig. 167) ABC ie triansle proposé, ACEBE' ie cercle circonsciit, et AD la bissectrice do l'angle BAC qui passa évidemment pur
le milieu E de l'arc BC; les triangles AliE, ADC, ont deux angles égaux chacun à chacun, savoir : l'angle BAE égal à l'angle DAC, puisque la droite AE est, par hypothèse, bissectrice de l'angle BAC, et les angles BEA, DCA, égaux enirc eux comme inscrits dans le même segment BECA.
Liviii; iiL — LUS kiguhes SKHUiAni.i;s, (45
Cas triangles sont donc semblables, et l'on a
AB AE AD ^ÂC on (193) ^ ^^
An.AC = AE.AD = [AD h- DE)AD = AI)'-:- DA.niî = ÂD -+- DB.DC.
23"!. En considérant la bissectrice AD' de Tiingle extérieur CAF', qui jiasse évidemment par le milieu E' de l'arc BAC, on déduirait de !a sîmiliLUtie des triangles ACD', ABE', la relation
AB.AC =AE'.AD', qu'oii transformerait ensuite dans la suivante :
AB.AC =--^ D'B.D'C-ÂD''.
l>oiio, k- prcduit de deiim eôtés d'un tr'mngle est égal an produit des deii '■ .■segments soustractifs que la bissectrice de leur angle extérieur deleniiine sur le troisième côté, diminué dii carré de cette bissectrice.
238. Ces théorèmes permettent de calculer les longueurs des liissectiices en fonction des côtés du triangle.
S'agit-il, par exemple, de la bissectrice AD -^ a, il suffit de ii'mjilacer (.'ans la relation
èc=za'H-DB.DC,
les segments DB et DC pîir leurs valeurs que l'on déduit [ 181! des équaticns
DR Tir Vi^ -■- "C n
On trouve ainsi, réductions faites, et en désignant par p le d;?mi-périm du triangle,
Un calcul analogue donnerait pour la bissectrice AD' = «' de extérieur
Exempte. Four les bissectrices intérieures «, fi, 7, et pour les bissectrices extérieures a', p\ 7', du triangle dont les eûtes sont i3, 6 et 9, on obtient à i millième près
</.~ 3,833, P = 7,778, 7=^10,^07, a'.-. 3o,983. p'=7,i37, 7'= la.ogS.
r.. et DE G. — Tr. de Gàom. IV Tartio). lO
1^6 GÉOMÉTniE PLANlî,
239. Voici une autre expression souvent utile du produit de deux côtés d'un triangle.
Le produit de deux côtés AB, AC, d'un triangle en égal au produit du diamètre AD du cercle circonscrit par la hmitmr AE relative au troisième côté {fig. 168),
Lo relation à démontrer
AB.AG = AD.A1Î ou ^5 = ^
résulte immédiatement de la similitude des deux triangles rectangles ABD, AEG, dont les angles aigus D et G sont égaux comme inscrits dans le même Eegment.
Co lliéorème permet de calculer, en fonction des cétés du triangle, le rayon R du cercle circonscrit ; il suffit pour cela de remplacer, dans l'égalité
bc= 2II.AE.
la hauteur AE par sa valeur donnée an n" 220 ; on ivouve alors
■\^!A t>~ct){p-b)[p-.] Pour il = i3, i =g, c^ 6, on aR - 7,4iG. THÉORÈME.
240, Dims loitt quadrilatère inscriplible convexe,le produit des diagonales est égal à la somme des produits des eûtes opposés, et réciproquement.
En effet, considérons un quadrilatère convexe quelconque ABCD [Jig. 169), et désignons l'cspeclivement par a, b, c, d.
X, X les côtés AB, BC, CD, DA et les diagonales AC, BD ; enfin, sur AB considéré comme homologue de AD, construisons, exiérieurement au quadrilatère, un triangle ABO semblable à
LIVHH [II. — LES FIGUHES SIîSim..lUI.ES. I.'i^
ADC. Nous aurons d'abord
AO An OB '■' AG ~ Ai)^CD'
d'où
La première des proportions ( i ) ei régaiiié évidenie des angles OAC, BAI) prouvent que les triangles OAC, RAD soiil semblables comme ayant un angle égal compris entre cotée proportionnels; on en conclut la relation
