OC AC

d'où 0C=^-

Ainsi,fei trois côtés du triangle OBC ont respeclivemenl pour valeurs

iîC = i, 0B=^, 0G = ^', a d

et, par conséquent, sont proportionnels aux produits bd, ac, xy. Donc, comme OC est moindre que OB h- BC, on voit que dans un quadrilatère convexe quelconque le produit xy des diagonales est inférieur à la somme ac + i>d des produits des côtés opposés. Pour qu'il soit égal à celle somme, il faut et il suffit que le côté BO soit le prolongement de CB, c'est-à-dire que l'angle ABC, et par suite son égal ADC, soil le supplément de ABC, ou enfin que le quadrilatère ABCD soil inscripiible,

CoROLLAiriES.

SM. La démonstraiion qui précède suggère immédiatement le moyen de construire un quadrilatère convexe inscriplible connaissant les longueurs a, b, c, d des cùlés et leur ordre de succession.

On portera sur une même droite il la suite l'une de l'autre

des longueurs CB, BO respectivement égales à tel à -r! puis,

on aura le sommet A par l'intersection du cercle décrit du point B pour centre avec a pour rayon et du cercle, lieu des

points {ioDi. les dislniices aux points 0 ei C sont dans lerappcifi

'—— =:x ^- On connaîtra alors les trois côtés du triangle UAC, ce

qui déterminera le point D.

I! y a deux points D; mais on clioisira celui qui est, par rapport h AC, du côté opposé à B. De même, il y a deux points A; mais ils sont symétriques par rapport à BC; il suilira donc de prendre l'un d'eux, l'autre donnant le même quadrilatère placé symétriquement par rapport à BC- Il y a donc une solution unique.

242. Si l'ordre de succession des côtés n'était pas imposé, on trouverait trois quadrilatères distincts, suivant qu'on opposerait au côté 6, le côté d, c oa a: k chacun de ces cas répondent, il est vrai, deux quadrilatères; mais ces deux quadrilatères sont égaux; ils ne diffèrent que parleur disposition symétrique par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu du côté h.

Lorsqu'on a l'un ABCD {Jig. 170) des trois quadrilatères, on obtient immédiatement les deux autres AECÛ', BCDA', en prenant sur le cercle circonscrit au premier l'arc AD' égal à l'arc CD, et l'arc DA' égal à l'arc AB; les arcs BAD', CD A' étant égaux, leurs cordes ED', CA' sont égales, et, en désignant par z leur valeur commune, on voit que les trois quadrilatères ont respectivement pour diagonales x et 7, x et z, y et z. Le théorème ci-dessus (240) appliqué à chacun d'eux donne

{■}.] xy:=ac-i~ bd, xz^=^ad-v bc, yz^ab -+- (:d.

V.n divisant les deux dernières équations membre à membre, on obtient

Ci j-^'îhfd-

Donc ; Dans tout quadrilatère i/iscriptible convexe, les diagonales sont entre elles comme les sommes des produits des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.

La réciproque de cette proposition est vraie : en d'autres lermes, si les diagonales et les côtés d'un quadrilatère convexe ABCD satislont à la relation (3), le quadrilatère est inscriplible. Kit effet, soient x, et/, les diagonales du quadrilatère inscriplible

i.iviiiî 111- — LRS piGUKEs siaiiir.AiiU^s. i4o

A,B|CiD, cjuia ses côlés égaux à ceux du quadrilatère ABCD ci disposés dans le même ordre; en vertu du théorème direci, le rapport — sera égal au second membre de la relation [3); on aura donc

or, si l'on avait ari>/F, ii en résulterait I(,>B et D,>-I>; d'ailleurs, on auraitaussi, enverlu de (4], ji>-j"'^^' parconséijuent, A,>- A et O' C; la somme des angles du quadrilatère AiBidD, l'emporterait donc sur celle des angles du quadrilatère ABCD, ce qui est absurde. On prouverait de même qu'on ne peut avoir x,<C.x; donc il y a égalité entre les diagonales X et x„ et, par suite, entre les quadrilatères ABCD, AiB|C,l), ; le quadrilatère ABCD est donc inscriptible.

Indiquons enfin les valeurs des trois diagonales en fonci ion des côtés :

-!— l£^±^lif"Ll" ^f' ï - ("■^-1- àdUfih +«;: ~ ab-i- cd ad ■+■ bc

on les oblietil en divisant le produit des irois équalions [i] successivement par le carré de chacune d'elles,

SCOLIE

ai-a. Le théorème du n" 210 est attribué a Plotémée qui, dans son Jlmagesie, l'a donné comme lemme pour la construction d'une table de cordes. Il offre, en effet, le moyen de calculer la corde m de la somme de deux arcs en fonction des cordes c ei <-■' de ces arcs et du diamètre S du cercle; tes deux cordes et le diamètre qui passe par leur point commun forment deux côtés conligus et une diagonale d'un quadrilatère inscrit dont l'autre diagonale est la corde inconnue h, tandis que les deux autres côtés sont égaux à \/â'— K', v''^'— '■''': <'g là, en vertu du théorème de Ptolémée, la relation

qui permet de calculer ».

j5o GEoHÉriiii; i'I.amî.

g.V, — PROBLÈMES lŒLATIFS AUX LIGNES PROPORTIONNIÎLLES.

244. Diviser une droite A en parties proportionnelles à des droites données M, N, P, ou en nn certain nombre de parties égales.

Après avoir tracé un angle GBD de grandeur convenab](î

[fiq: i-ji), prenez sur le côté BC une longueur BE égale à A,

Cl sur le côté BD des longueurs BF, FG, GH, respeciivemeiil

Fis. 171. Fie- '7«.

égales à M, N, P. Tirez HE, et menez FL, GK, parallèles à HE. La droite BE ou A sera ainsi divisée aux points L et K en parlies proportionnelles à M, N, P. On a, en effet ( 181 ), BL LK KE BL LK KE

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