FG GH

Si l'on devait partager A proportionnelienient à des nombres donnés m, n, p, on représenteraii ces nombres par des droites M, N, P, en adoptant une certaine longueur comme unité, et l'on retomberait sur la question précédente,

245. Enfin, le procédé graphique que nous venons d'indiquer permet aussi de diviser une droite A en parties c'gales; il suffit évidemment de supposer M, N, P, quelconques, mais égales entre elles ; ce qui revient à porter sur BD des louijueurs BF, FG, GH, égales entre elles, et à mener par F et G des parallèles à HE.

Lorsqu'on a plusieurs droites à diviser en un même nombre de parties égales, on préfère employer le tracé suivant :

5 étant, par exemple, le nombre des parties égales, tirez une

r.îVnE III. — I.RS FiGURKS SKJIBLAIILES. iSl

droite indélinie CD (/;?. 17a) sur laquelle vous porterez cinq fois ane même ouverture de compas CE = EF = FG = GH = ilDj

Des extrémités C et D comme centres, avec CD pour rayon, décrivez successivement deux arcs de cercle qui se couperont en un point 0, et menez OC, OE, OF, OG, OH, OD. Cela étant, prenez OA el OB égales à l'une des droites que vous voulez diviser, et tirez AB; cette droite AB sera égale à ia droite proposée, puisque le triangle OCD étant équîlatéral, le triangio OAB qui lui est semblable doit l'être aussi, el de plus AB sera divisée (213), par les sécantes issues du point 0, en cinq parlies proportionnelles aux parties de CD, c'est-à-dire égnles entre elles.

PROBLÈME

24C. Trouver la quatrième proportionnelle à trois droites données M, N, P.

Après avoir tracé un angle BAC de grandeur convenable, prenez [Jig. 173) sur le côté ABdes longueurs AB et AD res-

l'ill. 1,3.

peciîvement égales à M el à N, et sur le côte AC une longueur AC égaie à P; tirez BC et menez DE parallèle àBC; AE sera ia quatrième proportionnelle cherchée. On a, en effet (182),

2W. Si les droites N et P étaient égales, AE serait ia troisième proportionnelle à M et à N.

PROBLiiME.

248. Construire la moyenne proportionnelle entre deux droites données A et B.

l5a RfiOîlÈTltlIÎ l'LAKK.

i" Pfpnez, à la suite l'une de l'aulre [Jig. 174), sur une fhoite indéfinie, deux longueurs CD el DE reSpeclivement égales il ,\. et à lî. Sur CE, comme diamètre, décrivez une circonffrcncc, et par le point D élevez DF perpendiculaire à CE. Lu droite DF sera (223) la moyenne proportionnelle entre CD et DE, c'est-à-dire entre A et B.

2° Lorsque les droites données A et B sont un peu grandes, on préfère le procédé suivant : prenez sur une droite indé-

finie {Jig. 1^5}, et à partir du môme point C, deux longueurs CD el CE respectivement égales à A et à B; sur CD, comme diamètre, décrivez une circonférence, et élevez EF perpendiculaire à CD; enfin tirez FG. La corde FG sera (223) la moyenne proportionnelle entre CD et CE, c'est-à-dire entre A et B.

3° On pourrait aussi, après avoir pris CD et CE égales à A c! &1) [fig. 175), décrire une circonférence quelconque passant par E et D, par exemple la circonférence dont ED est le diamètre, puis mener la tangente CG à cette circonférence. Ceire tangente (t95) serait la moyenne proportionnelle entre CD el Cli, c'est-à-dire entre A et B. Toutefois, au point de vue graphique, ce procédé est inférieur au précédent, et il convient de ne l'employer que lorsqu'on veut relier la conslruclion à une autre figure qui contient déjà plusieurs des lignes doni ce procédé exige le tracé,

SCOLIE

2/iO. La moyenne proportionnelle entre deux longueurs prend souvent le nom de moyenne géométrique, tandis qu'on appelle moyenne arithmétique de ces deux longueurs leur ■demi-somme.

Les trois côtés du triangle rectangle CGO' [fg- 175) représentent respectivement : CG la moyenne géométrique des deun

LivilE !ti. — L!is P[Gi;[ii:s SBMiiLAui.ES. i.i3

(Imites A el B, CO' leur moyenne arithmétique et GO' leur demi-différence. Comme le côté CG est moindre que l'hypoténuse, GO', on voit qtie la moyenne géométrique est moindre que la moyenne arilhmétiqu-". Appelons ô leur différence; !e iriangle O'CG donne

ô'"G"'=Gïy'- c(ï' = (C0'-hCG)[C0'-f:ah

or, les moyennes CO' et CG sont toutes deux supérieures à la plus petite fi des deux lignes proposées; on a donc

/A-lî\' „ . ,, . , ,. (A ~B'.'

Ainsi, la différence entre la moyenne arithmétique et ta moyenne géométrique de deux longueurs A e( B est moindre que le carré de la différence de ces longueurs, divisé par Itiiil fois la plus petite.

250. Pour mettre en équation un problème de Géoiiiélrii% il suffit de concevoir que toutes les longueurs soient rapportées S une même unité, sans qu'il soit besoin de fixer celle unité commune, qu'on laisse, au contraire, indéterminée. Les raisonnements étant indépendants du choix <ie cette unité, c'est-à-dire de récbelie & laquelle a été construite la figttpo (jue l'on a sous les yeux, si les raisonnements et les calculs sont Justes, l'équation à laquelle on parvient doit pouvoir siq>porLer, sans altération, un changement dans un même rapport de toutes les données linéaires, les données angulaires restant les mêmes. En d'autres termes, l'équation doit élre homogène, c'est-&-dire telle qu'en y multipliant par un mémo nombre chaque lettre exprimant la mesure d'une longucii]', ce nombre disparaisse de lui-même

Si l'inconnue est une longueur, ta formule qui exprime sa mesure doit donc être Itomogène et du premier degré; construire cette formule, c'est trouver la longueur inconnue par des opérations graphiques exécutées sur les longueurs doni les mesures entrent dans la formule. Nous allons montrer qu'o/j pent construire, à l'aide de la règle et du compas, toute exprès-

(54 GÈoiriîTRiE rr.AKi:.

sion rationnelle ou ne renfermani d'autres irrationnelles que

des radicaux ayant une puissance de a pour indice.

Pour plus de clarlé, nous représenterons les longueurs par des ieures majuscules et !es nombres qui les mesurent parles lettres minuscules correspondantes.

I" Si la formule est de la forme

on portera, à l'aide du compas, à partir d'un point 0, sur une droite fixe, les «nés à la suite des autres, d'abord les longueurs A et B dans un même sens, puis C en sens contraire, D dans le sens primitil', enfin E en sens contraire; M étant l'extrémité de celte dernière, la longueur OM serais longueur inconnue X. 2° S'il s'agit d'un monôme fracUonnaire

(!e nombre des facteurs du numérateur surpassant d'une unilé celui du dénominateur!, on écrira

A, "Bi' G ~ ït/ C;~"Jî/

en sorte que X s'obtiendra en construisant une suite C, Ci, X de quatrièmes proportionne! les.

3° Le procédé précédent ne suppose pas qu'au numérateur, comme au dénominateur, les facteurs soient inégaux. Il résuite de là que, p étant un monôme quelconque de degré l( et u la mesure d'une longueur U donnée, on peut toujours construire une longueur A, telle que

ou p~

Cela posé, soit une fonction rationnelle quelconque {homogène et du premier degré)

yGoosle

/'(> /'if /'» ps désignant des monômes de degré quelconque/r, ei 7), <7i. ?i des monômes de degré /r—i. U étant une longueur prise à volonté, on conslruifa d'abord des longueurs Ao, A,, A,, Aa, B,, Bi, B„ telles que l'on ait

on aura alors

Cl entin, en désigiiant par S et T !es longueurs

S=A.H- A,- A.-l-A,, T=r-ii,--ïf, + !i„

il viendra

en sorte que X s'obtiendra par une rjualrièmn proporlionnello à T, SetU.

4° Considérons maintenant los expressions irrationnelles.

Soil ie radical du second degré

oh p ei q désignent des expressions entières et bomogènes l'une de degré k, l'autre de degré k — a. U étant une longueur prise à volonié, on construira d'abord deux longueurs A et B telles que l'on ait

On aura dès lors

'=s/'^ = sj'-'~r

X sera donc la moyenne proportionnelle entre U el une longueur L quatrième proportionnelle à lî, A et U.

Si l'indice du radical était une puissance de z supérieure ii la première, la quantité sous le radical étant une fonction rationnelle et homogène de même degré que cet indice, on

l5G GÉOîlf.TllIE PLANlî.

remplacerait ce railical par une suite de radie; degré superposés. Soit, par exemple.

on délerminer.i, aa moyen do quatrièmes proporLionnelies successives, une longueur C, telle que

et X s'obtiendra en construisant deux moyennes proportionnelles successives.

25i. On peut avoir à construire une formule non homogène provenant de ce que l'on prend l'une A des lignes de la figure pour unité ; il faut alors commencer par rétablir l'homogénéité ; c'est-à-dire par chercher la formule qui remplacerait la proposée, si l'on avait laissé l'unité arbitraire.

Or, soit a le nombre qui mesurerait la longueur A (prise d'ahord pour unité) si l'on adoptait une autre unité U d'ailleurs arbitraire. Soient b, c, . . ., les mesures des autres longueurs B, C, . . ., l'unité étant A, et b'^ c', . . .,lcui's nouvelles mesures, l'unité étant U. Puisque le rapport de deux grandeurs est toujours égal au quotient des deux mesures quelle que soit l'unité commune, on a

il suffira donc de remplacer, dans la formule donnée, b, c, . par ces valeurs, ou plus rapidement, en supprimant les ;

cenl.s, de remplacer b,c, . . . , par - > - > ■ ■ ■ ■

Par excm|)le, si l'on donne la formule

iliClKS SEMBLABLEE^.

on ia remplacera par lit suivante :

que nous avons construite ci-dessus.

Soit encore à construire

l'Ianl. donnée la longueur A qui a été prise pour unité ; on !a remplacera par

el en désignant par B la moyenne proportionnelle entre A ùl 3 A,

X. sera donc la moyenne proportionnelle entre A et la longueui S :=7A-t-B qui s'oljlienl p^r addition,

PROBLÈME

232, Construire sur une droite donnée : i" un triangle sem-

blable à un triangle donné; 1° u polygone donné {fig. 177).

; polygone semblable à

r58 GtOMiiiini'. pr.\\E,

1° Pour constt'aire, sur la droite A'iî' considérée comme l'homologue de Alî, un inaiigle semblable -au triangle ABC, faites un angle B' A'C égal à l'angle BAC, et un angle A'B'C ogal à i'angie ABC. Le triangle A' B' C ainsi obtenu et le triangle lionne ABC seront semblables comme ayant deux angles égaux chacun à chacun (200).

2" Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme l'homologue de AB, un polygone semblable au polygone ABCPE, décomposez ce dernier polygone en triangles, en menant par l'un des sommets A les diagonales AC, AD. Construisez alors sur A'B' un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, puis sur A'C un triangle A'C'D' semblable au triangle ACD, enfin sur A'D' un triangle A'D'E' semblable au triangle ADE. Le polygone A'B'C'D'E' ainsi obtenu et le polygone donné ABGDE seront semblables comme composés d'un même nombre de triangles semblables et semblablemeni disposés.

La similitude de chaque couple de triangles exigeant deux conditions, on voit que la similitude de deux polygones de n côtés exige 2(« — -i] oit ara — 4 conditions ; leur égalité en exige 2« — 3, c'est-à-dire une de plus; et, en effet, deux polygones égaux sont deux polygones semblables dont le rapport de similitude est égal à l'unité.

2!J3, Si, au lieu de donner un côté A'B' du polygone demandé, on donnait le rapport de similitude — > on pourrait encore appliquer la solution précédente, en construisant préalablement une droite A'B' dont le rapport à AB fût égal à — (246).

])ans ce cas, on préfère souvent opérer de la manière suivante :

On joint (^g-. 178) les divers sommets du polygone donné ABCDE à un point 0 choisi arbitrairement dans le plan de ce jiolygone; on prend sur OA une longueur OA' dont le rapport

à OA soit égal à — ; puis on mène dans l'angle AOB la parallèle A'B' à AB, dans l'angle BOC la parallèle B'C à BC, - . . , et