LIVRE UI. — I.B3 FIGimGS SE.llBT.Alir.ES. iSg

ainsi de suite. Les polygones A'B'C'D'E', AGCDE, sotil semblables, car (210) les triangles additifs OB' A', OA'E', OE'D'. et les triangles soiislraclîfs OB'C, OG'D', dont la réunion constitue le polygone A'B'C'D'E', sont respectivement semblables aux triangles OBA, OAE, OED, et aux triangles OBC, OCD, qui forment par leur assemblage le polygone ABC1>E.

PROBLÈME

SSI». Construire deux droites, connaissant leur somme et leur produit {^g-. 179]-

Soient BG la somme donnée et A une droite dont le carré est égal au produit donné. Supposons le problème résolu, et soient BF et FC les deux droites demandées; si sur BC comme diamètre on décrit un demi-cercle, la perpendiculaire FE sera moyenne proportionnelle entre BF et FC (â23)ï et par suite égale à A; la parallèle menée par £ à RC interceptera donc une

Fis m- '■'£■ 'Bo.

longueur ED égale à A sur !a tangente en B. De cette analyse, résulte la construction suivante ;

Sur BC comme diamètre, décrivezun demi-cercle ; au point B, élevez BD perpendiculaire sur BC et égale à A, menez DEE' parallèle à BC, et projetez en F et en F' sur BC les points E et E' oïl cette parallèle rencontre le cercle. Les deux droites cherchées seront BF et FC, ou, co qui revient au même, BF' elF'C.

Ainsi, le problème, quand H est possible, n'a qu'une solution. Pour qu'il soit possible, il faut et il sul'iit que la parallèle J)EE' rencontre la demi-circonférence, c'est-à-dire que la droite BD ou A ne surpasse pas le rayon OE ou la moitié de BC. Lorsque la quantité A atteint sa valeur maximum |BC, la parallèle DEE' est tangente au demi-cercle, et les deux segments

<!•; liC sont 01) 01 OC. On voit par là que le produit de deux droites, dont la somme est constante, est maximum lorsque ces droites sont égales entre elles.

23G. î'-i! rep ré se niant par /i et ç la somme et le protlui donnés, on a

KO ^ BO := CO = ^ ; FE = BD = \/^, OF = \/rô' - ëf' = t/^ - 7,

01, par suile,

BF =r !!0 - OF ---. '^ - S /■ Ç - q,

CF=r:CO--!-OF---..

PROBLÈME

256. Construire deua- droites, connaissant leur différence el leur produit (fig- 180).

Soient EF la différence donnée, et A la droite dont le carré est égal au produit donné. Supposons ]e problème résolu et soient DE et DF les deux droites demandées. La tangente DU, lïienée du point D au cercle décrit sur EF comme diamètre, sera moyenne proportionnelle entre DE et DF [193], et par suite égale à A. Et, comme cette tangente est perpendiculaire sur le diamètre BC qui est égal à la différence donnée EF, on est conduit à la construction suivante :

Sur les côtés d'un angle droit, prenez une longueur BD égale à A et une longueur BO égale à la moitié de la différence donnée; du point 0 comme centre avec OB pour rayon, Oi'crivez un cercle; puis menez DO (jui coupe la circonférence au:v points E et F; DE et DF seront les droites demandées.

Le problème est toujours possible et n'a qu'une solution.

SCOUE.