En représentant par /> et ^ la différence et le produit

Liviin m. — LES Fir.iiiiES SE.imLAni.ES. ibr

donnés, on a OE = OF=OR=^, BD = v/^, 0D^-= v'ÔB'-f-îrD'=y ^^ +-/,

ei, par suite,

DE = OD — OE = y Ç + 7 - '^ '

DE = 00 + OF = dK H- î -1- 2 .

2S8. Les deux problèmes précédents permettent de construire les racines de toute équation du second degré à une inconnue, c'est-à-dire de toute équation do la forme

') et q étant de^ nombres positifs quelconques. En effet, des quatre types

le premier se ramène au second, et le troisième au dernier, par le seul changement de x en — a. Il suffit donc de construire les racines des équations

x-i — p:3:-^q = 0 et 3^-px — ,, = a.

En mettant ces équations sous la forme

on voit que, construire les racines de la première, c'est construire deux droites dont ia somme est/? et le produit 7. De même, construire les racines de la seconde, c'est construire deux droites dont la différence est p et le produit 7.

L'équation bicarrée

se ramène à l'équation du second degré

en désignant par C une longueur prise à volonté dont la n et en posant

iGa GÉOMÉTBir PLANIi.

On construira donc les longueurs Z' et T? qui ont pour mesures les racines de cette équation du second degré, puis on aura les valeurs do x par des moyennes proportionnelles entre C et chacune des longueurs Z' CL Z".

PROBLÈME, 2S!). Diviser une droite en moyenne et extrême retison

{fis- ■«■)■

On dit qu'un point divise une droite AB en moyenne et extrême raison, lorsque sa distance à l'une des extrémités A

de cette droite est moyenne proportionnelle entre sa dislance à l'autre extrémité B et la droite AB.

On voit a priori :

i" Que, entre A et B, il existe un point X, et un seul, jouissant de la propriété énoncée. Car, de A en B, le rapport ^t décroit d'une manière continue de l'infini à i, tandis que le rapport ^n croit de zéro à l'Infini; ainsi, quand le point X se

meut de A en B, le premier rapport diminue, le second augmente, et comme le premier, d'abord supérieur au second, finit par devenir moindre, il y a entre A et B une position de X, et une seule, pour laquelle on a