AB XA

2" Que, sur le prolongement de AB à gauche du point A, il existe un point X', et un seul, jouissant de la propriété

énoncée. Car, dans cette région, le rapport :^j-7- croît d'une

manière continue de zéro à l'infini, tandis que le rapport =t-/^^

décroît de I à zéro; il y a donc à gauche de A une position

LlVHlî 111. -- LES FIGURES SEHOLAliLES. 103

de X', et une seule, pour laquelle ou a

(^) ^ = %4 °" X'a'=AB.X'B.

3° Que sur le prolongement de AB à droite du point B, il ne peut exister aucun point jouissant de la propriété énoncée. Car la distance d'un point de cette région au point A, étant à la fois plus grande que la distance du point considéré au point B et que la ligne AB, ne saurait être moyenne proporlionneile entre ces deux longueurs.

Ainsi, sur la droite indéfinie qui unit les points A et B, il existe deux points X et X', ei rien que deux, qui divisent la droite AB en moyenne et extrême raison : l'un X intérieur, et les deux segments correspondants XA, XB, sont alors additifs,- l'autre X' extérieur, et les deux segments correspondants X'A, X'B, sont alors soustraclifs.

Pour déterminer ces deux points X et X', il suffit de trouver AX et AX'. Or, d'une part, si i'on retranche la relation (i j de la relation (a), on a

XTÂ' — Xa'l=AB[X'B — XB),

ou