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AB par leurs valeurs (277) et ré-
279. Du décagone convexe, on passe au polygone régulier de 20 côtés, puis à celui de 4", ■ . . , et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-iendus par les côtés du polygone précédeni. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 5, lo, 20, 4», . . ., et, en général, de 5. a" côtés,
PROBLÈME
280, Inscrire un pentédécngone régulier dans un cercle donné [Jig. 194)-
Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en quinze parties égales par les points A, B, C, D, E, F, G, H. 1, K,L, M,N, 0, P.
En joignant les points de division de i en 1, de 2 en 2, de 4 en 4. de 7 en 7, on obtient les côtés AB, AO, AE, AI, du pentédécngone convexe et des trois pentédécagones étoiles.
Considérons les côtés AB et AE; Q étant ie milieu de l'arc Cl), on a
arcAQ-(. 4-^)^5=^,
arcQI!--:arcQE^ U-^-) -> = -^•
yGoosle
Donc, pour construire AB ei AE, il suflit <1e porter, à parl.tr du point A, une corde AQ égale au côté de l'hexagone, puis à
partir de Q, el de pan et d'autre de ce point, une corde QB^ QE égale au eôlé du décagone convexe.
Pour calculer AB et AE, abaissons du point Q les perpendiculaires QSet QT sur ces côtés; l'égalité des triangles rectangles QAS et QAT, qui ont l'hypoténuse commune et un angle aigu égal QAS ^ QAT, donne
AS= AT, QSr QT;
puis, de l'égalité des triangles rectangles BQS, TQE, qui ont l'hypoténuse égale et un côté égal, on déduit
ET- BS.
On a donc
AB ^-- AS — RS et AE ^ AT -i- TE :- AS -[- lîS. Mais QS n'est autre que la moitié du côté du décagone convexe, puisque AQ est égal au rayon et que, l'arc BQ étant le dixième de la circonférence, l'angle inscrit BAQ est !a moitié de l'angle au centre du décagone convexe; on a donc
par suite.
v/aq"-(js" = ;7 v'-o-i
183 (lEOHfiiniE PI.AHR.
On aitra donc, d'après les relations ci-dessus,
AB = 5 (^10 4-2^/5 + \/3 - v^Tâ),
AE .=. ^ (vroTT;^ - v^ -^ \/^).
On verra de même que, X éiani le milieu de ML, AX est le côté du décagone étoile el XO = XI le côté de l'Iiexagone, re qui permettra de construire et de calculer d'une manière analogue les côtés AO et AI des deux autres penlédécagones étoiles. En remarquant que XV est la moitié du côté du décagone étoile, on trouve
AO ^= ? (v^ + \/3- Vio-a^/s),
AI = ^ UTé + >/3 -!- v'^-^v's).
28t. Du pentédécagone convexe, on passe au polygone de 3o côtés, puis à celui de 6o, , . . , et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par ies côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de i5, 3o, 6o, [2o,..., et en général de 3.5.2" côtés.
PROBLÈME
282. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle donné, calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés double (Jig- 'gS).
Soient Ali = a |e côté donné et R le rayon du cercle;
LIÏHE III. — LES FIGURES SEMBI.ABr.H.'î. l83
CD élani le diamèlre perpendiculaire à AB, AC sera le côté cherché, que nous désignerons par a' .
La corde AG est moyenne proponionnelle entre le diamèlre CD el sa projection CE = OC ~ OE sur ce diamèlre; on a donc
rt'^^2R(R-0E}==RiaK-20E).
Mais le triangle rectangle AEO donne
OE = \/aO — AË' ou OE . = i/r- — ^ =z 1 v4 K' -iiK
On a donc finalement
En particulier, lorsqu'on prend le rayon pour unité, on a
On peut donner à cetie relation une autre forme plus commode pour le calcul numérique. Le produit de la somme 2 -H y'4 — a?, par la différence 2 — ^/4 — «', esi égal à la différence des carrés de 2 et de ^4 — '"'- c'esi-à-dire à
4^(4-fl').= ù'.
Par suite, on :i
\' 2 -h \/4 — «' Scoi-iE.
283. En parlant d'un polygone dont on connaît le côté, on pourra, par l'application répétée de la formule (3), calculer successivement les côtés, et par suite les périmètres des polygones réguliers inscrits de an, 4") 8wi i6n,. . . côtés, n étant le nombre des côtés du premier polygone. Voici les résultats que l'on obtient en partant, soit du carré dont te côté est l'a
(84 GËOMËTRIE PL^NE.
dans le cercle de rayon i, soit de l'hexagone dont le côté esi I ;
^glnbre dcE c6lt). Dcmi-périm^lreg. ; MiniHie de; cAl^s. I>jnil'P«i\[Dilrei,
8 3,06145 i 12 3,io582
16 3,iai44 I 24 3,i3i6a
64 3,14033 96 3,i4io3
Ces valeurs sont obtenues par défaut à moins d'une unité du cinquième ordre décimal.
PROBLÈME
28'j. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit,
calculer le côté du polygone régulier circonscrit semblable
( ng. 196).
Fig.
Soient AB z= <i le côté donné et R le rayon du cercle; menons la tangente CD au milieu F de l'arc AB et prolongeons-la jusqu'aux points C et D, où elle renconlre les rayons OA et OB prolongés. CD sera le côté cherché (265); désignons-le par x.
Les triangles semblables AOE, COF, donnent
