La formule (i) peut encore s'écrire

288. On voit sur la figure que OF est plus grand que OG et que OD est moindre que OG. Donc, quand on passe d'un polygone régulier au polygone régulier isopérimètre d'un nombre de côtés double, l'apothème augmente et le rayon diminue, de sorte que la différence entre le rayon et l'apothème va en décroissant.

On peut voir que la différence r' — <t' esl moindre que le quart de In différence précédente r — a.

En effet, si du point 0 comme centre, avec OD pour rayon, on trace

il s'ogil donc de prouver que iF est inférieur à la moitié de CF, ceslù-dire que IF est moindre que CI. Or l'angle inscrit IDE et l'angle IDi; formé par une Langenlo et une corde ont pour mesure, le premier \a moitié de l'arc lE, le second la moitié de l'arc DI; ces angles sont donr: égaux, et DI est la bissectrice de l'angle GDF. Donc oiilin le rapport dn IF à IG est égal à celui de la perpendiculaire DF à l'oblique DC. et, par suite, moindre que i.

Le même fait ressort des formules précédentes.

Nous désignerons par a' cL r" l'apothème et îe rayon du polygone isopérimètre de in côtés, en sorte que 2;/= a'-t- r\ r'^^ a'i' .

Cela posé, on a, en vertu de 0"),

■, iea apothèmes allant en croisant, le dernier membre est plus

2My. Ou peut encore romarquer(D. Andrr, 'Nouvelles Annales, 187/I) :;iic chacun des rapport'

Cela est évident pour le premier; car, en vertu do la formule (i") et de

son analogue a''~ci~ ^(r' — a'), il est égal an rapport -— — que

nous venons de considérer.

Quant au second, on a

or, des trois facteurs qui figurent au dernier membre, ies deux premierssont inférieurs à i et l'autre est moindre que 7 ■

290. Étant donnés les périmètres p e! P de deux polygones réguliers de n côtés, l'un inscrit, l'autre circonscrit à un mène cercle, calculer les périmètres p' et P' des polj-gones réguliers inscrit et circniiscril de

Le rapport de similitude ou celui des périmètres étant égal an rapport (Jesapotlièmos (269), on a (fig. 197)

D\iilleurs, les triangles semblables ODC, ACG, doi