LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABr.ES, I S

rail. C et D étant deux points consécutifs quelconques, nous nommerons angle de la corde CD avec la tangente au point C l'angle dont tievrait tourner CD autour du point C supposé fixe pour que le point D vînt se confondre avec C. De même, l'angle de la corde CD avec la tangente au point D sera l'angle ilont devrait tourner DG aulour du point 1) supposé fixe pour que le point G vînt se confondre avec D.

Supposons les points A, G, D, ..., I, B, assez rapprociiês pour que chacun des arcs partiels AG, CD, . . ., I!î, soit convexe et que sa corde fasse des angles aigus avec les tangentes menées à ses deux extrémités. Dans ces conditions, nous donnerons h la ligne polygonale ACD...IB le nom lie ligne brisée inscrite dans l'arc AB, et nous appellerons ligne brisée circonscrite correspondante la ligne AM'N'.-.l'U dont les cotés touchent l'arc AB aux sommets A, C, D, . . -, I, B, de la ligne brisée inscrite.

Cela posé, on ramène la notion de la longueur d'un arc de courbe à celle de la longueur d'une ligne droite, à l'aide de la définition suivante :

La longueur d'un arc de courbe est la limite viirs laquelle tend le périmètre d^tine ligne brisée inscrite dans cet arc, lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro.

Toutefois, pour justifier cette dofinilioii, il faut prouver que cette limite existe et est iiinque, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant la(|iielle les côtés tendent vers zéro.

Pour plus de clarté, noua diviserons la dé mous t ration eu deu\ pai tioi.

" Le rapport des périniéires d'une ligne hristle inscrite et de la ï correspondante tend vers l'unité, quelle que

igO GÉOllÉTRIE PLANE.

toit la loi suivant ktquelle les colis de la li^ne iiucnte tendent vers

En effet, soient M, N, .... T, les projections des sommets M', N', . - . , r, de la ligne circonscrite sur les côtés AC, CD, ..., IB, de la ligne inscrite. Puisque cliacnne de ces cordes fait dos angles aigus avee les tangentes à ses oxlrÉmités, les points W, N, . . . , T, tombent respectivement entre A et C, entre C et D, . , ., entre I et B (4f). Le rapport considéré est donc égal au suivant