AM'-'-M'C + CN'^■.,.-^■T'B

et, comme la valeur do ce dernier est, d'après un théorème connu d'Arithmétique, comprise entre les valeurs du pîus petit et du plus grand des rapports

^1 ■\ic IJ^ 'rj)

\\l Ml IN ■ ■■ ÏB '

il suffit de pro n r q if lHicuti dt i s lapports tend vers l'unitc,

Considérons \it exemple le npport -^- Sur une droite a'^ invariable de grandeur ei de position conitruisuns un triangle a^f Y^aiavt^Xb en 3 et dont 1 angle air,u i soLt égal à N'CN. Les triangles semblables CNN', dpY donnoionth pioportion

tN 2[1'

mais, lorsque !e côté CD tend vers zéro, il en est do même de l'angle N'CN ou de son égal a. Par suite, la longueur finie el variable ay tend vers ap, et le rapport ci-dessus a pour limite l'unité.

■i" Le périmètre d'une ligne brisée inscrite dont les côtés tendent vers zéro, a une limite de'termiiiée et indépendante de la loi d'inscrip-

En effet, une première ligne brisée étant inscrite dans l'arc AB, joignons un point quelconque de chacun des arcs sous-tendua par ses divers côtés aux extrémités du côté correspondant. Nous formerons ainsi une nouvelle ligne brisée inscrite ayant dem fois plus de côtes que la première. En opérant sur celle-là comme sur la précédente, et ainsi de suite, nous obtiendrons une série illimitée de lignes brisées inscrites siiiia/ii uiie loi partiadièrc. Les périmètres '/i, '/j, "/s, ■ ■ ., de ces ligues

LEVIIE UI. — LHS FIGIJRHS SEHDLA.ll[,rs. li)r

-croîtront sans cesse et, comme ils restent moindres que le pcriniètro d'une ligne bviséo, quelconque circonscrite à Tare AB, ils tendront vers une limite déterminée L. D'ailleurs (1°), les porimëtres Qi, Qj, Qj, . . ., des lignes hrisées circonscrites correspondantes tendront vers la même iimiie L.

Considérons maintenant une suite d lignes brisées inscrites dans Tare ABjwWjï ii/ie ki quelconque et dont les côtés tendent vers

Soient /i te périmètre d une ligne de ci,tlo série et P le périmètre de la ligne brisée circonscrite conespondante P étant plus grand que l'une quelconque des lignes q\ qt 53 sera supérieur ou éga! 1 leur

limite L. D'autre part p étant moindre que I une quelconque des lignes -Qi, Q'., Qs, ■ seri a 1 plus égal 1 leui bmite L

On aura donc

Mais le rapport - a pour limite l'unité (i"). Par conséquent, le rapport -, étant compris entre 1 et une quantité qui tond vers 1, a l'iinilc poui

limite.

En d'autres termes, /; a aussi pour limite L,