LIVRE VII

LES CORPS RONDS

SCOLFE.

790. Lorsque deux sphères n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes en ce point, qu'on nomme point de contact; le point de contact est situé sur la ligne des centres, et en ce point les sphères ont le même plan langent (120).

Fig. /)27. ,

Les positions relatives de deux sphères sont au nombre de cinq (122), et les relations correspondantes entre la dislance des centres et les rayons sont celles qui ont lieu pour les circonférences de grand cercle déterminées dans les sphères données par un plan quelconque passant par la droite des centres.

THÉORÈME

791. Par quatre points A, B, C, D, non situés clans un même plan, on peut faire passer une surface sphérique, mais une seule [Jig. 4-8)«

Fir;. .'|28.

il s'agit de prouver qu'il exislc un point, et un seul, situé à la môme distance des quatre points A, B, C, 0.

Or, tout point équidislant de A, B,C,IJ doit se trouver sur la perpendiculaire Fil élevée au plan ABC par le cenlie V du cercle circonscrit au triangle ABC, puisque cette perpendiculaire est le lieu des points équidisianis de A, B, C (52V; il doit aussi ap|)arlenirà la perpendiculaire EG élevée au plan ACD par ie centre E du cercle circonscrit au triangle ACD. Comme

l66 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

deux droites FH, EG ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistanl de A, B, C, D. En second lieu, un tel point existe toujours si, conformément à l'hypothèse, les points A,B, C,D ne sont pas situés dans un même plan. En effet, le plan perpendiculaire sur le milieu K de AC, étant le lieu des points équidislants de A et deC, doit contenir EG et FH; d'ailleurs, les deux droites KF et KE, suivant lesquelles il rencontre les plans ABC et ADC, se coupent, puisque les plans ABC et ADC sont distincts; donc les deux droites EG et FH, étant situées dans un môme plan EKF, et étant, dans ce plan, perpendiculaires à deux droites KF et KE qui se coupent, ont un point commun 0 qui est le centre de la sphère demandée.

Corollaires.

792c Deux sphères, qui ont quatre points communs non situés dans un même plan, coïncident.

793. Les perpendiculaires élevées aux quatre faces d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à chacune de ces faces se coupent en un même point.