LIVRE VII. — TES CORPS RONDS

met P comme pôle et compris entre ses côtés, soit le plus petit arc de grand cercle ppt, qui unit les pôles de ses côtés

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En eflct :

1° Les arcs PA, PB élant des quadranis, les angles POA, POB sont droits, el l'angle AOB esl l'angle plan qui mesure l'angle dièdre formé par les plans des deux grands cercles. Mais (794) cet angle dièdre est égal à l'angle APB des deux arcs de grands cercles, el l'angle au centre AOB a pour mesure l'arc AB; donc l'arc AB esl aussi la mesure de l'angle APB.

2° Prenons sur la circonférence ABC, à partir des poinls A et B, dans le même sens, deux arcs Kp et B/;,, égaux à un quadrant; Vavc pp^ esl évidemmenl égal à l'arc AB, el, pour juslitier le second énoncé du théorème, il suffit de prouver que /^ et /?, sont les pôles des cercles PAP', PBP'. Or, la droite O/y, perpendiculaire à OA, puisque l'arc Ap esl un quadrant.

et perpendiculaire à OP, puisqu'elle est dans le plan ABC, est perpendiculaire au plan du grand cercle PAP' ; p est donc le pôle de ce grand cercle. De n)ème, /?, est le pôle du grand cercle PBP'.

Nous avons dit que nous portions les arcs \p et B/>, dans le même sens, à partir de leurs origines respectives A el B; si on les portail l'un dans un sens et l'autre en sens contraire, l'arc ppt serait le supplément de l'angle des deux grands cercles. Il y a donc une précaution à prendre dans l'application du second énoncé. Il faut considérer, pour l'un des grands cercles PAP', le pôle p qui esl du même côté que le dcniicercle PBP' et, pour l'autre grand cercle PBP', le pôle /-», (lui n'est pas du même côté (lue le demi-cercle PAP'.

l68 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Corollaires.

796. Le lieu géomélrique des pôles des grands cercles inclinés d'un angle donné sur un grand cercle donné se compose de deux cercles dont les pôles se confondent avec ceux du grand cercle donné. Le rayon sphérique de ces cercles est égal à l'arc de grand cercle qui mesure l'angle donné.

797. Pour que deux grands cercles se coupent à angle droit, il faut et il suffit que chacun d'eux renferme le pôle de l'autre.

798. Deux grands cercles APC, BPD [fig. 429) forment en se coupant au point P quatre angles APB, BPC, CPD, DPA ; les angles adjacents APB, BPC sont supplémentaires, les angles opposés par le sommet APB, CPD sont égaux.

DÉFINITIONS

799. On appelle polygone sphérique la portion de surface sphérique ABCDE comprise entre plusieurs arcs de grand cercle. Ces arcs AB, BC, CD, DE, EA sont les côtés du polygone; les angles ABC, BCl),... qu'ils forment, et les sommets B, C, . . . de ces angles sont les angles et les sommets du polygone [fig. 43o).

Un polygone sphérique est dit convexe lorsque chaque cùié prolongé laisse tout le polygone dans le même hémisphère.

Chaque côté d'un polygone sphérique convexe est moindre qu'une demi-circonférence de grand cercle. Car, si le côté AB, par exemple, était plus grand qu'une demi-circonférence, on pourrait prendre sur AB, entre A et B, un point I tel, que AI

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fùl égal à une deiiii-ciiconférence; dès lors, le grand cercle auquel appariieni le côté ÂE passerait par le point I ^776), et le polygone ne serait pas tout entier dans l'un des deux hémisphères déterminés par ce grand cercle AE.

Un polygone sphérique convexe ne peut être rencontré en plus de deux points par un arc de grand cercle (26).

800. Le polygone sphérique le plus simple est le triangh sphérique; c'est la portion ABC de la surface de la sphère comprise entre trois arcs de grand cercle AB, BC, C\, qui sont chacun moindres qu'une demi-circonférence. D'après cela, un triangle sphérique est toujours convexe [Jig. ^3i].

On pourrait admettre des rôles qui surpasseraient la demicirconférence, et appeler encore triangle sphérique la figure formée par des arcs tels que AB, AC, BDC, dont le dernier est supérieur à une demi-circonférence. Mais d'abord cela serait incommode, parce que ces nouvelles figures présenteraient des angles, tels que A, qui surpasse deux angles droits ; et ensuite cela e>l inutile, car la connaissance des éléments du tri.ingle sphérique proprement dit ABC entraîne celle de tous les éléments de la figure formée par les arcs AB, AC, BDC.

Un triangle sphérique est isocèle, éqwlatérnl, rectangle, dans les mêmes circonstances qu'un triangle rectiligne.

801. En joignant les sommets d'un triangle sphérique ABC i/ig. 432) au centre 0 de la sphère, on forme un angle trièdre OABC, dont les faces AOB, BOC,... ont la môme mesure (127) que les côtés correspondants AB, BC, . . . du triangle sphérique, et dont les angles dièdres OA, OB,... ont la iiiètne mesure (794) que les angles A, B,. . .'de ce triangle. La même

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

remarque s'éiend à un polygone sphérique ABCD ijig.. 433) et à l'angle polyèdre correspondant OABCD,

D'après cela, à chaque propriété des angles Irièdres ou polyèdres répond une propriété analogue des triangles ou polygones spliérîques; et, pour énoncer celte propriété, il suffit de remplacer respectivement les mots /«ce ç^i angle dièdre par

les mots côté et anale.

Fig. 432.

C'est même cette marche que l'on suit pour établir les premières propriétés des figures sphériques. Mais plus lard, et pour des propriétés moins simples, il est ordinairement préférable de faire l'inverse, c'est-à-dire d'établir directement les propriétés des figures sphériques pour en déduire les propriétés des angles polyèdres correspondants. On raisonne en efi'et sur une surface, et en particulier sur la sphère, presque aussi aisément que sur un plan, tandis qu'il faut un certain effort pour se représenter une figure de l'espace un peu compliquée. L'étude de l'Astronomie ne laisse à cet égard aucun doute, et la conception de la sphère céleste est un des plus heureux artifices iiéométriqueti qu'on ait imaginés.

802. Si l'on prolonge les arêtes de Fangl^î polyèdre OABCD {fg. 433) au delà du sommet 0, on forme un angle polyèdre symétrique OA'B'C'D', qui détermine sur la surface de la sphère un polygone A'B'C'D'. Les deux polygones ABCD, A'B'C'D', dont les sommets sont ainsi diamétralement opposés deux à deux, sont appelés polygones sphériques symétriques. Les considérations développées au n" 566 conduisent aux propriétés suivantes :

1° Deux polygones symétriques ont leurs angles et leurs côtés égaux deux à deux ^ 2" ces polygones ne sont pas en gé-