AB<AD + BD

Cl, en remplaçant le côté BD par son égal J)(],

AB<AI)-f-DC ou AB<AC.

Ï72 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.

En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontré au n° 802 (3°), on voit que : réciproquement, 5/ un triangle spliérique est isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, et si un triangle spliérique a deux côtés inégaux, au plus grand côté est opposé le plus grand angle.

805. De ce qu'un triangle sphérique isocèle est superposable à son symétrique, il résulte que, dans tout triangle sphérique isocèle, l'arc de grand cercle qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en deux parties égales.

806. Enfin les propriétés du triangle reciiligne, démontrées aux n°' 40 et 41, s'appliquent au triangle spliérique et s'énoncent de même ; il suffit de remplacer le mot droite par les mots arc de grand cercle.

THÉORÈME

807. Dans tout polygone sphérique convexe , la somme des côtés est moindre qu'une circonférence.

Car la somme des faces de l'angle polyèdre correspondant est moindre que quatre angles droits (570).

La démonstration directe est d'ailleurs facile. Considérons d'abord un triangle sphérique ABC [Jig- 435), et prolongeons les côtés AB et AC jusqu'à leur rencontre A'; les deux arcs ABA', ACA' sont des demi-circonférences de grand cercle (776) et, comme dans le triangle BCA' le côté BC est moindre que BA' -}- CAMa somme AB 4- AC -+- BC des côtés du triangle ABC est inférieure à ABA' -f- ACA', c'est-à-dire à une circonférence de grand cercle.

En opérant d'une manière analogue sur un polygone, c'està-dire en remplaçant un côté par les prolongements des deux qui lui sont adjacents, on voit que, si la proposition est vraie pour un polygone convexe, elle subsiste pour le polygone convexe qui a un côté de plus ; donc elle est générale.

LIVKK VII.

LES CORPS RONDS

THÉORÈME

808. Si un triangle sph trique A' B'C' est le triangle polaire d'un triangle sphérique donné ABC, réciproquement AliC sera le triani^le polaire de A'B'C.

Pour bien comprendre la définiiion du irion^le polaire et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque.

Soient EIF un grand cercle {Jig. 436), P l'un de ces pôles, et M un point quelconque de la sphère. Si P et M sont d'un même côté du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle qui va de P en M est moindre qu'un quadrant PI. Si P et M sont de part et d'autre du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle allant de P en M est supérieure un quadrant.

Fifj. /,3(;. Fig. 437.

Cela posé, on nomme triangle polaire d'un triangle sphérique ABC un nouveau triangle A'B'C (^«•.437) dont les sommets sont définis de la manière suivante : A' est celui des deux pôles du grand cercle HC qui est, par rapport à ce grand cercle, du même côté que le sommet opposé A; de même Fi' est le pôle de AC qui est situé par rapport à AC du même côté que B, et C est le pôle de AB qui est placé par rapport à AB du même côté que C.

Il s'agit de démontrer que, réciproquement, le triangle \\M] est le triangle polaire de A'B'C. A cet cllei, considérons l'un quelconque de ses sommets, C par exemple; A' étant le pôle de HC, l'arc de gi'and cercle qui joindrait C et A' est un (|uadrant; de même l'arc de graïul crcle CIV osi un (piadrant, puisque B' est le pôle de AC. Donc, le point C (780) est |e

pôledeA'B'. De plus, puisque C est le pôle de AB qui se trouve par rapport à AB du même côté que C, le plus petit arc du grand cercle allant de C en C est moindre qu'un quadrant ; par suite, C est le pôle de A'B' qui se trouve par rapport à A'B' du même côté que C.

SCOLIE

809. D'après cela, le triangle polaire A'B'C d'im triangle donné ABC peut être considéré comme obtenu en décrivant des sommets A, B, C, pris successivement pour pôles, trois circonférences de grand cercle. Ces trois circonférences divisent la surface de la sphère [fi^. 437) en huit triangles, dont l'un A'B'C est le triangle polaire de ABC. C'est celui qui est tel, que les sommets A et A' soient d'un même côté par rapport à BC, les sommets B et B' d'un même côté par rapport à AC, et les sommets C et C d'un même côté par rapport à AB.

Les deux trièdres OABC, OA'B'C, qui répondent à deux triangles polaires ABC, A'B'C, sont supplémentaires (572). En elîet, d'après la construction du point C, on voit que l'arête OC, par exemple, est perpendiculaire (779) au plan AOB et située par rapport à ce plan du même côté que OC : on raisonnerait de même pour les autres arêtes OB' et OA'. Chaque angle de l'un des triangles ABC, A'B'C, doit donc (573) être le supplément du côté opposé de l'autre triangle. Mais celte propriété, en vertu de laquelle deux triangles polaires sont aussi appelés triangles supplémentaires, mérite d'être démontrée directement; c'est là l'objet du théorème qui suit.

810. Si ABC, A'B'C sont deux triangles polaires, chaque angle de l'un de ces triangles a pour mesure une demi-circonférence de grand cercle, moins le côté opposé dans l'autre triangle [Jig- 438).

En effet, considérons, par exemple, l'angle A et prolongeons, s'il le faut, les côtés AB et AC jusqu'à la rencontre de l'arc B'C; puisque A est le pôle de B'C, l'angle A a pour mesure l'arc DE (795); mais on a évidemment

DEr=B'E-i-DC —B'C.