LIVRE VI r. — LES CORPS RONDS. t
rieurs à un qu(ulrant est pair. lin effet, soient [fi^, 44â) trois grands cercles APB, AIB, PIP', perpendiculaires deux à deux; sur AP, prenons un arc AC moindre qu'un quadrant et joignons |iar un arc de grand cercle CD le point C à un point quelconque I) de AIU. Dans le triangle rectangle CAD, le côté AC est aigu, et l'on voit que tant que AD reste aigu, c'est-à-dire moindre que le quadrant Al, CD reste inférieur à CI, c'est-àdire à un quadrant; si AD devient obtus comme AD,, l'arc CD, est supérieur à CI, c'est-à-dire à un quadrant. Le triangle ACD a donc ses trois côtés aigus, ou un aigu et deux obtus. On prouverait pareillement que le triangle rectangle CDB. dont le côté BPC est obtus, possède toujours deux côtés obtus et un aigu, car, BD étant obtus, CD est aigu, et, BD, étant aigu, CD, est obtus.
2° Dans tout triangle spltérique rectangle, tout angle oblique est de même espèce que le côté opposé. En effet, l'angle ACI étant droit, l'angle ACD est aigu et l'angle ACD, est obtus; or AD est aigu et AD, est obtus.
THÉORÈME
822. L'arc de grand cercle, tangent à un petit cercle, est perpendiculaire à l'extrémité du rayon spliériquc qtù aboutit au point de contact.
Car le rayon sphérique, étant un grand cercle [)assant par le pôle du petit cercle, est perpendiculaire (817) à ce petit cercle et, par suite, au grand cercle tangent.
SCOLIE
823. Les propositions suivantes se démontrent comme en Géométrie plane.
Lorsque deux petits cercles d'une sphère se coupent, Varc de grand cercle qtù passe par leurs pôles est perpendiculaire sur le milieu de l'arc de grand cercle qui passe par leurs deux points d'intersection.
Lorsque deux petits cercles d'une sphère sont tangents, leur point de contact est situé sur le grand cercle qui passe par leurs pôles, et l'arc de grand cercle mené par le point de contact à angle droit sur celui qui unit les pôles est tangent à chacun des deux petits cercles.
On dit qu'un point de la sphère est intérieur ou extérieur à un petit cercle, suivant qu'il est situé dans la plus petite ou dans la plus grande des deux calottes que ce cerele détermine sur la sphère. vSa distance sphérique (810) au pôle du petit cercle est, dans le premier cas, inférieure et, dans le second, supérieure au rayon sphérique (781 ) de ce cercle.
Étant donnés deux petits cercles d'une sphère, on dit : i^que les deux cercles sont extérieurs, lorscjue tout point de chacun d'eux est extérieur k l'autre; -i" que le premier est intérieur d^w second, lorsque tout point
l84 GÉOMÉTRIE CATSS l'eSPACE.
du premier est intérieur au second, et alors tout point du second est extérieur au premier.
Cela posé, soient R et ries rayons sphériques de deux petits cercles, et D la distance sphérique de leurs pôles. Le quart d'un grand cercle étant pris pour unité, Il et r sont moindres que i et D est inférieure 2. Si les cercles sont extérieurs, on a D > R -+- r , si les cercles sont tangents extérieurement^ on a D = R -+- r ; si les cercles se coupent, on a à la fois RH-r>D>R — r; si le cercle r touche intérieurement le cercle R, onaD = R — r\ enfin, si le cercle r est intérieur au cercle R, on a D < R — r. Les réciproques sont vraies.
THÉORÈME
8i2i. Le lieu des sommets des triangles sphériques, qui ont une base commune DE et dans lesquels la différence entre l'angle au sommet et la somme des angles à la base est constante en valeur absolue, se compose de deux petits cercles passant par les points D et E et symétriciues par rapport au plan DEA du grand cercle DE.
En effet, C étant un point pris arbitrairement sur la sphère et P étant le pôle du cercle circonscrit au triangle sphérique CDE, désignons respectivement par 7, rj, £ les valeurs des angles à la base dans les triangle» isooèles PCD, PDE, PEC. Si le pôle P est à l'intérieur du triangle DEC (comme dans la fig. 446), on a
D-hE — C = ((?-^7)-(-(rî-i-g)~(7-t-s) = 2^;
si P est extérieur au triangle DEC, mais situé du même côté que C par rapport au grand cercle DE, on a
P + E-C= (^^-7)-+-(^- s)-(V — ;) =2<y, ou
enfin, si P et C sont de part et d'autre du grand cercle DE, on a
ïl résulte do là que, si le point C se déplace de façon que la différence (D -(- E) — C reste constante en valeur absolue, l'angle 8 et, par suite, le triangle isocèle DPE restent invariables de grandeur; en sorte que le point P ne peut avoir que deux positions, qui sont symétriques par rapport au plan DEA, Le lieu du sommet C se compose donc du cercle décrit du point P comme pôle avec PD pour rayon et du cercle symétrique par rapport au plan DEA.
Lorsque la diiTérence (D -1- E) — C est donnée à la fois en grandeur et en signe, il faut prendre seulement sur chacun de ces deux cercles l'arc qui est situé par rapport au plan DEA du même côté que son pôle si la différence est positive, et au contraire l'autre arc si la différence est négative.
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Quand la différence (D -f- E) - G est nulle, o est aussi nul; les deux points P coïncident avec le milieu de DE, et le lieu est le cercle décrit sur DE comme diamètre dans un plan perpendiculaire au plan DEA.
Ce théorème est l'analogue de celui du n" 13 i de la Gc'nmétric jAanc. En effet, lorsque, dans un triangle rectiligne CDE, ou donne l'angle G, on donne par cela même la différence D -+• E — G.
PROBLÈME
8*2o. Tracer sur la sphère un grand cercle passant par deux points donnés A et B [Jig- 447)*
L'inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or la dislance de ce pôle P à chacun des points A et B est égaie à la corde du quadrant (780); on l'obtiendra donc en décrivant successivement deux arcs de cercles, des points A et B comme pôles, avec une distance polaire égale à la corde du quadrant.
Fig. 446. F'g- 4'l7- Fig- 448.
PROBLÈME
826. Mener par un point donné A sur la sphère un arc de ^rand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné BP
[fis- 448).
L'inconnue de la question est le pôle du cercle demandé. Or ce pôle P doit se trouver sur le cercle BP (797), et être à une distance du point A égale à la corde du quadrant. On l'obtiendra donc en décrivant, du point A comme pôle, avec une dislance polaire égale à la corde du quadrant, un arc de cercle qui rencontre en P le cercle donné BP.
PROBLÈME
827. Mener un arc de grand cercle peipcndiciddire sur un arc de graml cercle donné AB, en son milieu ; ou, diviaer un are de grand cercle AH en deux parties égales [fig. 449 )•
11 suffit do décrire des points A etD comme pôles, avec la mémoouver-
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
lure de compas, deux arcs qui se coupent en C et D ; puis, de faire passer un grand cercle par C et D.
Remarquons que ce grand cercle CD divise aussi en deux parties égales tous les arcs de petit cercle dont les extrémités sont A et B.
Fig- '1i9-
Fig. .15o.
PROBLÈME
828. Trouver le pôle d'un petit cercle passant par trois points donnés A, B, C, sur la sphère [fig. 45o).
Ce pôle P, étant équidistant de A, B, C, est à l'intersection des arcs de grand cercle élevés perpendiculairement sur les milieux des arcs de grand cercle AB et BC (827).
Le pôle P une fois connu, on tracera le petit cercle avec une ouverture de compas égale à PA.
PROBLÈME
829. Far un point A donné sur la sphère, mener un grand cercle faisant un angle donné avec un grand cercle donné DED' [fig. 45i).
Soit P celui des deux pôles du grand cercle donné qui se trouve dans le même hémisphère que le point A, et soit a l'arc de grand cercle qui mesure l'angle donné, lequel peut toujours être supposé aigu.
Le pôle Q du cercle inconnu doit se trouver sur le grand cercle EE' dont A est le pôle, puisque le grand cercle demandé passe par A. Le pôleQ
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doit aussi appartenir au pelilccrcle décrit du point P tomme pôle avec un rayon spliérique égal à x, puisque ce petit cercle est le lieu des pôles des grands cercles qui coupent, sous l'angle donné, le grand cercle DED' (7<)6).
On décrira donc deux cercles, l'un du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde du quadrant, l'autre du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de l'arc a. Tout point commun Q à ces deux cercles sera le pôle d'un grand cercle satisfaisant à la question proposée.
Pour que le problème soit possible, c'est-à-dire pour que les cercles auxiliaires se coupent, il faut et il suffit, puisque l'angle donné est aigu, que l'on ait
PQ > PI ou a > S,
en désignant par ê la distance sphérique AD du point donné A au grand cercle donné DED'.
Lorsque le point A est sur le grand cercle donné DED', le grand cercle EE' passe par P, et il suffit, pour avoir le point Q', de porter sur le grand cercle EPE', à partir de P, une ouverture de compas égale à la corde de l'arc a.
PROBLÈME
830. Construire un triangle sp/iérif/NC r-ec tringle, connaissant: \° un côté de l'angle droit et l'hypoténuse; i" un angle et le côté opposé.
i" Après avoir tracé [Jig. 4^2) deux grands cercles perpendiculaires l'un à l'autre, c'est-à-dire deux grands cercles DAD', EAE', tels que le
pôle de l'un soit sur l'autre, on portera sur l'un d'eux DD', à partir du point commun A, un arc AG égal au côté donné /^; puis, du i)oint C comme pôle, avec un rayon sphérique égal à l'hypoténuse donnée a, on décrira un cercle BB' (pii coupera le grand cercle EE' en deux points symétricpsespar rapporta DCD' ; en menant les arcs do grands cercles CD, CB', on aura
l88 GÉOMÉTRIE EANS l'eSPACF.
deux triangles sphériques symétriques BAC, B'AC, qui répondent à la question proposée.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le nombre a qui mesure l'hypolénuse soit compris entre les nombres ^ et 2 — 6 qui mesurent les distances sphériques minimum" et maximum du point C au grand cercle EE'.
2° On commencera par tracer deux grands cercles BAB',BCB' [fi^. 453)
faisant entre eux l'angle donné B; soit P le pôle du premier et EPE' le grand ceicle qui est perpendicuUiire à la fois sur BAB' et BCB'; le problème se réduit à mener un grand cercle, perpendiculaire à BAB', c'està-dire passant par P, et tel que la partie CA, interceptée dans le fuseau BEB'D, soit égale au côté donné b. Or PC sera égal alors à i —h. On décrira donc du point P, avec un rayon sphérique égal à i — ^, un cercle qui coupera BDB' en deux points; C étant Fun quelconque de ces points, le triangle BCA satisfera à la question, ainsi que le triangle B'CA. La condition de possibilité consiste dans l'inégalité
PC> PD ou !-/;>! - B, c'est-à-dire
Nous avons supposé l'angle B aigu : s'il était obtus, on aurait
PC = ft— I, PD = B — I,
et la condition de possibilité serait 6> B.
* PROBLÈME
831. Construire un triangle sp/i'^rique , connaissant trois quelconques de ses six éléments (angles ou côtés).
Ce problème offre six cas distincts; on peut donner : 1° les trois côtés
