LIVRE VII. — LES CORPS ROPS

OU les trois angles; 1° deux côiés et l'anixle oompris, ou un rôle el les deux ringles adjacent?; 3° deux côtés et langle opposé à lun d'eux, ou deux angles el le côté opposé à l'un d'eux.

iJans cette énuméralion, nous avons réuni chaque fois les deux cas corrélatifs, c'est-à-dire qui se ramènent l'un à l'autre par la considération du triangle polaire. Il n'y a donc que trois cas à traiter directement.

1° On donne les Irais côtés a^b, c.

Supposons, pour fixer les idées, a';> by- c.

Pour que le problème soit possible, il faut (803, 807) que l'on ait à la

fois

rt<6-i-r, rt-i-^-i-c<4.

Ces conditions sont suffisantes. En effet, sur un grand cercle M.M'de la sphère, prenons un arc BMC égal à a {fig. 4 54 ) ; du point B comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de l'arc c, décrivons un

arc de cercle DD' et, du point C comme pôle, avec une ouveiture de compas égale à la corde de l'arc é, décrivons un second arc de cercle EE'. Puisque l'arc BC est plus grand que chacun des arcs BD et CE, les points D et E sont situés dans la portion BMC du grand cercle MM' et, comme BC est moindre que la somme BD -i- CE, les arcs BD el CE empiètent l'un sur l'autre : le point E tombe donc entre B et D. D'ailleurs, la somme BD'-f- BC -f- CE' étant moindre qu'une circonférence de grand cercle, le point E' est situé sur l'arc CM'D' entre C et D'. Il résulte de là que le point E et le point E' sont, le premier intérieur, le second extérieur à la calotte qui, déterminée par le cercle DD', a pour pôle B. L'arc EE'. qui, par rapport à cette calotte, unit un point intérieur à un point cxtérieiiT, doit donc couper la base DD' de celle calotte en un certain point A, lequel est le troisième sommet du triangle demandé ABC.

Les cercles DD' et EE' se coupent en un ^^econd point A', sommet d un second triangle A'BC, symétrique du premier.

iqO GÉOMÉTKIE DANS l'eSPACE.

Ainsi, pour qiCoii puisse construire un trinnglc spiicrique avec trois côtes donnés, il faut et il suffit (jue le plus grand côté soit moindre que la somme des deux autres et que la somme des côtés soit injérieure à une circonférence de grand cercle.

Dans les applications, il peut se faire que l'une de ces conditions soit remplie d'elle-même; il ne reste plus alors qu'à considérer l'autre. Par exemple, au n° 8i3, lorsqu'on cherche les conditions pour'cpie deux petits cercles se coupent, on n'a pas à faire intervenir la relation

parce que, d'après la manière dont D, R et /• sont définis, cette relation est satisfaite d'elle-même.

Souvent, on ignore l'ordre relatif de grandeur des côtés donnés. Dans ce cas, on exprime que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres, en écrivant que chaque côté est moindre que la somme des deux autres.

Pour qu'on puisse construire un triangle spJiériqae avec trois angles donnés, il faut et il suffit que le plus petit angle augmenté de deux droits soit plus grand que la somme des deux autres et que la somme des trois angles soit supérieure à deux angles droits, car, en prenant les suppléments de ces angles comme côtés, on peut construire le triangle supplémentaire, d'où l'on déduit ensyite le triangle demandé par le tracé indiqué au n° 809.

2° On donne deux côtés a et b et V angle compris C.

Même solution qu'en Géométrie plane (145).

3" On donne deux côtés a et b et l'angle A opposé au côté a {fg. 455).

Construisons sur la sphère deux grands cercles formant un angle égal à A (829). Prenons, à partir du sommet, sur l'un des côtés de cet angle, un arc AG égal à è, et du point C comme pôle, avec une ouverture de compas égale à la corde de «, décrivons un arc de cercle; B étant Tintersection de ce cercle avec le second côté de l'angle, le triangle ABC sera le triangle demandé.

La discussion de ce problème exige quelque attention.

Fig. /,55.

« Achevons le fuseau A, et du point C abaissons l'arc CD perpendicu- » laire sur l'autre côté de l'angle. Dans le triangle sphérique rectangle