LIVRE VII. LES CORPS RONDS. I9I

» ACD, l'arc perpendiculaire CD sera aigu ou obtus suivant que l'angle » donné A sera lui-même aigu ou obtus (821, 2°). Si l'arc CD est aigu, » il sera le plus court de tous les arcs qu'on pourrait mener du point G » dans le fuseau aux divers points de l'arc ABA', et les arcs obliques aug- » menleront en s'éluignant du pied de l'arc perpendiculaire; si l'arc CD » est obtus, il sera au contraire le plus grand des arcs menés du point C, » et les arcs obliques augmenteront en se rapprochant du pied de la per- » pondiculaire f819, 820).

» Cela posé, pour que le triongle proposé soit possible, il faudra (Fabord » fjue le côté opposé a soit nu moins égal à l'arc perpendiculaire, si » l'angle donné A est aigu; ou plus petit, si l'angle donné A est obtus. » Celte première condition de possibilité est évidemment satisfaite lorsque » l'angle donné A et le côté opposé a aussi donné sont de nature différente.

» Je dis maintenant que :

^ X et a étant de nature différente, le problème, s'il est possible, n'a » qu'une solution;

)i A et a étant de même nature, le problème, s'il est possible, a une ou » deux solutions.

» En effet, soient A aigu et a obtus, par exemple. Si l'on peut tracer » dans le fuseau, par le point C, une oblique CB égale au côté a, elle ne » pourra se trouver évidemment que du côté de celle des obliques ex- » trêmes bon 180" — 6 qui sera de même nature quea; ainsi le problème » ne peut avoir qu'une solution. Cette solution existera pour «< celui » des arcs b ou 180° — b de même nature; le triangle sera impossible n pour a au moins égal à celui des arcs b ou 1 80" — 6 de même nature.

» Si l'on supposait A obtus et a aigu, on arriverait aux mêmes conclu- » sions; seulement il fa<idrait renverser les signes, parce que larcper- » pendiculaire CD serait obtus.

» Soient A et a aigus. L'arc perpendiculaire CD étant alors aussi aigu, » on voit qu'il pourra exister dans le fuseau une oblique CB' égale à a du » côté de celui des arcs b ou 180° — ^ qui sera aigu, et, a fortiori, qu'il en » existera alors une autre CB du côté de celui des deux arcs b ou iSo" — b » qui sera obtus. Ainsi le problème pourra avoir deux solutions. Ces » deux solutions existeront pour a< celui des arcs b ou îSo" — b de » même nature; une de ces deux solutions ne sera plus possible pour a au » moins égal à celui des arcs b ou j8o° — 6 de même nature. Le triangle n sera impossible |iour a < lare per|>endicul3ire CD.

» Si l'on supposait A et a obtus, on arriverait aux mêmes conclusions; n seulement il faudrait renverser les signes, parce que l'arc perpendicu- » laire CD serait obtus ( '). »

C) Lentuéric, Nouvelles Annales, l. Il, i'"- série.

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PROBLEME

832. Par un point donné, mener un arc de grand cercle tangent à un petit cercle donné [Jîg. 456).

Fig. /|56.

Si le point donné est sur le cercle, il suffit d'élever par ce point un arc de grand cercle perpendiculaire au rayon sphérique correspondant (822).

Supposons, en second lieu, que le point donné A soit extérieur au petit cercle donné, c'est-à-dire soit situé dans la plus grande des deux calottes sphériques séparées par ce petit cercle. Considérons le problème comme résolu; nommons P le pôle du petit cercle donné, B le point de contact de l'arc BA, et prolongeons le rayon sphérique PB d'une quantité BC = PB. Le pointe se trouve d'abord sur un cercle décrit du point P comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde d'un arc de grand cercle double du rayon sphérique r du petit cercle. Il se trouve en outre sur un second cercle décrit du point A comme pôle avec une ouverture de compas égale à la corde de l'arc P.4 = D; car, BA étant perpendiculaire sur le milieu de PBC, le point A est équidistanl de P et de C.

Le point C une fois obtenu à l'aide de ces deux cercles auxiliaires, on mènera l'arc de grand cercle PC qui coupera le petit cercle en B, et, en joignant B et A par un arc de grand cercle, on aura Tare tangent demandé.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le triangle APC, dont on a les trois côtés, existe, c'est-à-dire qu'on ait (831 )

La première condition est toujours remplie, et les deux autres équivalent à

elles expriment que le point A doit être situé hors de !a calotte sphérique PB, et hors de la calotte symétrique.