LIVRE VU. — LES CORPS RONDS. ig

Les cercles auxiliaires ?e coupent en deux points C et C; de là deux solutions AB et AB'.

La construction précédente s'applique au problème corresponddnt de Géométrie plane; mais elle exige plus de place que celle du n° 137.

Observons enfin que, lorsque deux cercles de la sphère ont deux points communs, les symétriques de ces points par rapport au centre de la sphère appartiennent évidemment à la fois aux deux cercles symétriques des premiers. Si les deux points considérés se confondent, c'est-à-dire si les deux cercles proposés se touchent, les deux cercles symétriques se touchent au point symétrique du premier point de contact. Enfin, si l'un des cercles est un grand cercle, comme il esta lui-même son symétrique, on voit que tout grand cercle tangent à un petit cercle est aussi tangent au petit cercle syniéiricjue du premier par rapport au centre de la sphèn-. Ainsi, dans le problème qui nous occupe, les grands cercles trouvés AB et AB' louchent non-seulement le cercle donné PB, mais encore son symétrique.

PROBLÈME

833. Décrire un grand cercle tangent à deux petits cercles donnés.

Soient P et P' les pôles (781) des deux petits cercles, R et R' leurs rayons sphériques, D la distance sphérique (81(5) des deux pôles P et P'. Nous supposerons, pour fixer les idées, R >R'.

Le grand cercle cherché X peut laisser les deux cercles R et R' dans un même hémisphère ou dans des hémisphères opposés.

Dans le premier cas [Jïg. 4^7 J , nous prendrons pour inconnue le pôle Q

Fig. ',57.

du grand cercle X, qui est dans le même hémisphère que les cercles R et R'. Si X et A' .-^ont les points où le cercle X louche respectivement les cercles R et R', le pôle Q est à la fois sur les grands cercles PA et P.V ; il est donc le tro sième sommet d'un triangle sphérique QPP', dont on connaît deux sommets P et P' et les tr.jis côtés

PP' = D, PQ = OA-AP- i-R, P'0= QA'-.\'P'= I— R'. R. et DE C. — Tr. de Géom. (.11' Partie J. l3

ig4 GÉOMÉTRIE DANS l.'liSPACE.

Les conditions de possibilité sont (831)

D<i-R-f-i — R' ou 2 — D>R+Tl',

i-R'<D + i-R ou D>R-R',

i-R<D-f-i-R' ou D>R'-R,

D + i — R H- I -R'< 4 ou D<2+R-hR',

Supprimant les deux dernières relations qui sont satisfaites d'ellesmêmes, puisque l'on a D < 2 et R' < R, il ne reste plus que les conditions

D>R-R' et 2-D>R + R'.

Les principes du n'' 8^3, applicables ici puisque D est moindre que 2 et que i — R et 1 — R' sont moindres que i, les auraient fournies immédiatement; ils permettent d'ailleurs d'interpréter géométriquement ces deux conditions. La première exprime que la calotte R' n'est pas contenue dans la calotte R. Quant à la seconde, comme 2 — D est la distance sphérique de P au symétrique de P', elle signifie que )a calotte R et la calotte symétrique d(! la calotte R' sont extérieures l'une à l'autre.

Dans le second cna [fig. 458), on voit, d'une manière analogue, que

le pôle Q du grand cercle X qui se trouve dans le même hémisphère que le cercle R est le troisième sommet d'yn triangle sphérique QPP', dont on a les deux sommets P et P' et les longueurs D, 1 — R, i -hR', des trois côtés. Les conditions de possibilité sont

D>R-^R' et 2— D>R— R'.

Elles exprimentque les calottes R et R' sont extérieures l'une à l'autre et que la calotte R ne contient pas la calotte symétrique de la culotte R'-