LIVRE VU. — LES CORPS HONDS

i^ V. — AIRE DE LA SPHERE

DÉFINITIONS

834. On appelle zone In portion de la surface sphérique comprise entre deux cercles dont les plans sont parallèles. Ces cercles sont les bases de la zone ei la distance de leurs plans est sa hauteur. Ainsi, tandis que la demi-circonférence PABP' engendre une sphère en tournant autour du diamètre PP' [Jig. 459), Tare AB décrit une zone dont les bases sont les

cercles AC et BD décrits par les points A et B, et dont la hauteur est la projection CD de l'arc AB sur l'axe PP'.

Si l'un des plans est langent à la sphère, l'un des cercles considérés se réduit à un point, el la zone, qui n'a plus alors qu'unç base, devient une calotte sphérique. Ainsi l'arc PA, en tournant autour de PP', engendre une calotte sphérique dont le cercle AC est la base el dont PC est la hauteur.

THÉORÈME

835. Lorsqu'une droite AB tourne autour d' un axe xy situé dans son plan, l'aire quelle engendre a pour mesure le produit de la projection Cl) de cette droite sur l'axe par la circonférence dont le rafon est la perpendiculaire 10, élevée au milieul de la droite \B jusqu'à la rencontre de l'axe xf [Jig. 4(Jo),

Fiji;. /(Go.

Nous supposerons que la droite AB est située tout enliôre

iq6

d'un même côté de l'axe .rj. Quelles que soient alors les positions relatives de AB et de xf, l'aire engendré par AB a pour mesure (761)

(i) 2Tr.lM.AB,

IM étant la perpendiculaire abaissée du point I sur xy.

Si la droite AB est parallèle à xy^, le théorème proposé est tout démontré; sinon, il faut transformer l'expression (i). A cet effet, menons AE parallèle à xy jusqu'à la rencontre de la projetante BD ; les triangles AEB, IMO sont semblables comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires, et l'on a