FA F'~ A
Prenons A' = i ; le fuseau correspondant, ayant son angle droit, sera égal au quart de la sphère, c'est-à-dire au double du triangle trirectangle : on aura donc F' =. ?. et, par suite,
- =— , d OU F =: 2A.
THÉORÈME
847. Si l'on prend l'angle droit pour unité d'angle et le triangle trirectangle pour unité, d'aire, l'aire d'un triangle sphérique a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de 2.
Fig. 465.
Soil [fig. 465) AliC le. triangle proposé; achevons le grand
202 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE,
cercle AB, et prolongeons les côtés AC, BC, jusqu'aux points A' et B' où ils rencontrent ce grand cercle. On aura évicl<;mment
ABC + BCA' = fus. A,
ABC + ACB' = fus.B,
el (845)
ABC + B'CA':^ fus. C.
La somme des premiers membres de ces trois égalités se compose de la demi-sphère el de deux fois l'aire du triangle ABC. Comme, dans le système d'unités adopté, la demi-sphère est mesurée par le nombre ^, si l'on désigne par S, A, B, C les nombres qui mesurent l'aire el les angles du iriangle, on aura (84G)
4 + aS = 2 A 4- 2 B H- 2 C, d'où
SCOLIES
84-8. Soient Rie rayon de la sphère évalué en mètres, o- l'aire du Iriangle en mètres carrés, el a, ê, y les angles de ce iriangle évalués en degrés; on aura, en observant que le iriangle Iri-
rectangle est égal au huitième -TrB^de la sphère.
90 90 90 ^ttK^
et, par suite, en vertu de la relation (i),
(2) a = ^^ -ttU'.
Voici deux exemples :
1° Quelle est, sur la sphère dont l'aire est égale à i mètre carré, l'aire du triangle dont les angles sont de 61 degrés, loc) degrés, 127 degrés?
Le rapport de ce iriangle au triangle Irireclangle est, d'après {a formule (i ),
61 H- 109 H- 12. ij — 180 117 „
IIVIE Vil. ^ LBS CORPS BONDS. io3
el, comme le triangle irireclangle est ici le huitième du mètre rarré, l'aire du triangle donné est
2" Quelle est, sur la sphère dont le rayon est 2"',4> l'aire du triangle sp/térique dont les angles sont de 5i°37', 73*11', 87°43'?
La formule (2) donne, en réduisant en minutes,
(7 — ôz-â. ^X^-A
à I centimètre carré près.
