TT r
et, par suite,
A + lî + C — 2 = I f A' + R' -f- C — 7:) .
D'ailleurs, le rayon de la sphère étant i, l'aire du triangle trirectangle est alors mesurée par -» de sorte qu'on a
S' étant le nombre qui mesure l'aire du triangle dans ce nouveau système d'unités. On a donc enlin (847), à cause de la formule i \
S' = A' + B' -hC -7T.
Un donne à ce nombre abstrait A' -f- IV -1- C — z le nom d'excès sphérique du triangle.
^o4 GftOMÉTRfE DANS !,' ESPACE.
THÉORÈME
850. Sf l'on prend l'angle droit pour unité d'angle et le triangle trirectangle pour unité d'aire, l'aire d'un polygone sphérique de n côtés a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de 1 [n — 2).
On arcive à ce résultat en décomposant le polygone en triangles à l'aide d'arcs de grand cercle diagonaux issus d'un même sommet, et en appliquant la formule (i) du n" 847 aux [n — 1) triangles ainsi obtenus.
SCOLIE
851. Soient, dans le système d'unités adopté, S, A,, A^, ..., A„ les mesures de l'aire et des angles d'un polygone sphérique convexe de n côtés ; on aura
S= (A, -I- Aj-f- ... -H A,,) — 2 (« — 2).
Désignons par (7,,«j, . . . , a^^ les nombres qui mesurent les côtés du polygone polaire (811), en prenant pour unité de longueur le quart de la circonférence d'un grand cercle ; on aura
A, = 2 — «,, Aj = 2 — «2, ..., A„ = 2 — «„,
et, par suite,
S = [2« — (rt, -+- fl'2 -f- ■ • • -t- «„)] — 2(/^ — 2) = 4 — («I -t-'^î -•- •••-^-^J> OU enfin, en désignant par/; le périmètre du polygone polaire,
Ainsi, \airc d'un polygone sphéri(iue convexe est égale a 4 moins le périmètre du polygone polaire; cette relation mérite^d'êlre remarquée.
THÉORÈME
852. Le lieu géométrique des sommets C des triangles sphériques, de même base A6 et de même aire S, se compose de deux arcs de petits cercles symétriques par rapport au plan du grand cercle AB et passant par les points E et \) diamétralement opposés aux extrémités de la base AB 'A-. 466).
Fi(T. /|66.
En effet, en désignant par A, B, C les angles d'un triangle quelconque
HYiiE VII, — LUS coins noNus. 2o5
ABC satisfaisant à la question et par D, E, G les aneles tin triangle correspondant DCE, on a A = 2 — E, B = 2 -tt D, et par suite
S = ( 2 — E ) -f- (2 - D) -f- C — 2, d'où
on tombe ainsi sur le lieu étudié au n° 82 i, dans le cas où la différence (L) -(- E) — G est donnée en grandeur et en signe ; ce qui démontre l'énoncé. Ce théorème est dû à Lexell [Acta Petrop., 1781).
