VI. — VOLUME DE LA SPHÈRE
DÉFINITIONS
853. Pendant que la demi-circonférence .rABr engendre la surface sphérique en tournant autour du diamètre x}\ l'arc Ali engendre une zone, et les rayons OA et OB engendrent
i-ig. '167.
les surfaces latérales de deux cônes de révolution. La portion du volume de la sphère comprise entre les surfaces latérales de ces deux cônes et la zone AH est le secteur spliévique correspondant au secteur circulaire AOB. Un secteur sphérique est donc le volume engendré par la rotation d'un secteur circulaire autour d'un axe passant par son sommet, situé dans son plan et extérieur à sa surface; la zone engendrée par l'arc du secteur circulaire est la base du secteur sphérique.
^hk. On a\}^Q,\\e segment sphérique \:i portion du volume de la sphère comprise entre deux plans sécants parallèles. Les cercles déterminés par ces plans parallèles sont les bases du segment sphérique, et leur dislance en est la hauteur.
Lorsqu'un des plans parallèles devient langent à la sphère, le cercle correspondant se réduit à son pôle, ei l'on a un segmcnl sphériiiue à une base.
Si l'on ajoute [fis- 4^7) ^u secteur sphérique AOB les deux
GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
cônes AOa, BOb, on oblient le segment sphérique compris entre les deux plans parallèles déterminés par la rotation des perpendiculaires Aa, Bb, autour de xy. Ce segment sphérique correspond donc à la rotation du trapèze mixtiligne aAB6 autour du même axe.
THÉORÈME
855. Lorsqu'un triangle tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par l'un de ses sommets sans traverser sa surface, il engendre un volume qui apour mesure le produit de l'aire que décrit le côté opposé au sommet fixe, par le tiers de la hauteur relative à ce côté.
Soit le triangle ABC ayant son sommet A sur l'axe xy q\ AE pour hauteur relative à ce sommet : nous distinguerons trois cas.
Fig. /,68. Fig. 469.
FI
1° Supposons l'un des côtés ATÎ du triangle ABC confondu avec l'axe xy. Suivant que la hauteur CD qui correspond au côté AB tombe à l'intérieur [fig- 4^8) ou à l'extérieur [fig. 469) du triangle ABC, le volume engendré par ce triangle est la somme ou la différence des cônes engendrés par les triangles rectangles ACD, BCD.
En même temps, le cylindre engendré par la rotation du rectangle ABB'A', qui a même base et môme hauteur que le triangle donné ABC, est la somme [fig. 468) ou la différence {fig. 469) des cylindres engendrés par la rotation des rectangles ADCA', BDCB', dont le rectangle ABB'A' est lui-même la somme ou la différence. D'ailleurs, le cône ACD est le tiers du cylindre ADCA', et le cône BCD, le tiers du^cylindreBDCB' (764). Donc, dans l'un et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est le tiers du cylindre AB B'A', et l'on a
vo1.ABC = ^7tCD
AB
ou vol.ABC = ^7rCD.BC.AE,
HVRK Vir. — LKS CORPS ROKDS. 207
puisque les prorluils CD. AB el BC. ÂE représentent tous deux le double de l'aire du triangle donné. Or, tt.CD.BC exprime (756) l'aire latérale du cône BCI) ou l'aire de la surface engendrée par le côté BG dans la rotation du triangle ABC. Par suite,
AE
vol.ABC = airc BC
2" Supposons ijii^. 470) que, le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur l'axe xy, le côté BG prolongé vienne rencontrer l'axe au point D.
Fig. 470.
Le triangle ABC étant la différence des triangles ACD, ABD, le volume qu'il engendre est la différence des volumes engendrés par ces triangles. On a donc (i")
