AF AF

vol. ABC = (aire DC — aire DB) — ' = aireBC ~.

3° Supposons enfin que le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur l'axe xf, le côté BC soil parallèle à cet axe.

Le volume engendré par le triangle ABC est la somme iJ'f)- 47*) ou la différence {/tg- 47^) des volumes engendrés par les triangles ABE, ACE. Or, le volume engendré par le

Fig. 471. Fig. 472.

triangle ABE est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle A B' BE.etle volume engendré parle triangh; ACE, les deux tiers du cylindre enj^endré par le rectangle AG'GE (704),

2o8 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Donc, dans l'un et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB, somme [fig- 47 0 O"^! différence {Jig- 47^) des rectangles AB'BE, AC'CE; et l'on a encore

AE

vol.ABC = ^7rAE .BC = aireBC ,

27r-AE.BC exprime en effet l'aire latérale du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB ou l'aire de la surface décrite par le côté BC du triangle ABC.

THÉORÈME

856. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d'un diamètre extérieur à sa surface a pour mesure le produit de l'aire que décrit la ligne brisée gui lui sert de base, par le tiers de l'apothème de cette ligne brisée.

Soit [fg. 47^) le secteur polygonal régulier (H3) OABCD. tournant autour du diamètre xy. Décomposons ce secteur en triangles, en joignant au" centre 0 les sommets de sa base ABCD, et appelons a l'apothème de cette base. Le volume engendré par le secteur sera la somme des volumes engendrés par les triangles qui le constituent. Or (855)

vol.AOB=aireAB.|,

vol.BOCr=aireBC-^,

YP|.ÇOP:;:?^ireCD.f.