LIVRE Vir. — LES COUPS RO>'DS. 9.0Ç
En ajoutant ces égalités membre à membre, il vient vol.OABCD = (aire AB -h aireBC + aire CD). |
ou
vol. OABCD = aire ABCI).?
SCOLIE
857. Soient {/g. 473)AOD un secteur circulaire et OABCD, OAB'C'D', deux secteurs polygonaux réguliers semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au secteur circulaire. Si l'on désigne par n et a' les apothèmes des deux secteurs polygonaux, le rapport des volumes engendrés par la rotation de ces secteurs autour de l'axe jtj est
a aireABCD
a' aireA'BC'U'
Mais, lorsqu'on fait tendre vers zéro les côtés de la ligne brisée régulière ABCD, suivant une loi d'ailleurs quelconque, les deux facteurs du produit qu'on vient d'écrire tendent l'un et l'autre vers l'unité (291, 83"). Donc le rapport des volumes engendrés par les deux secteurs polygonaux a l'unité pour limite et, par suite, il en est de même, a fortiori, du rapport du volume du secteur sphérique engendré par le secteur circulaire AOD au volume décrit par chacun des secteurs polygonaux qui le comprennent. Donc enfin :
Le volume d'un secteur sphérique est In limite commune des volumes engendrés par des secteurs poljrgonatuv réguliers semblables, inscrit et circonscrit nu secteur circulaire correspondant, lors(pton fait croître indéfiniment le nombre des côtés de leurs bases.
858. Le volume d'un secteur sp/iérigue a pour mesure le produit de l'aire de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.
Le volume d'un secteur sphérique est la limite des volumes engendrés par les secteurs polygonaux réguliers inscrits dans le secteur circulaire correspondant, quandon fait croître indéfiniment le nombre des côtés de leurs bases. D'après cela, soient c le volume engendré par un secteur polygonal régulier inscrit, s l'aire de la surface décrite par sa base, « son apot.hcme; soient de même V le volume du secteur sphérique, S l'aire
R, cl DE C, — Tr. (h- Géont, ^11° Partie}, l^
210 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
de la zone qui lui sert de base, l\ le rayon de la sphère.
Ona(83G)
Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtes de là base du secteur polygonal, v tend vers V, s vers S et a vers R. On a donc, à la limite.
Corollaires.
859. Dans des sphères égales, deux secteurs sphériques sont entre eux comme les zones qui leur servent de bases, et, par suite, deux secteurs sphériques dont les bases ont même hauteur sont équivalents.
THÉORÈME
860. Le volume de la sphère a pour mesure le produit de son aire par le tiers du rayon.
Car ce volume peut être considéré comme celui d'un secleur sphérique ayant pour secteur circulaire correspondant un demi-cercle ou pour base l'aire de la surface sphérique ellemême. D'ailleurs, le raisonnement l'ail pour le secteur sphérique s'applique lexiaellement à ce cas particulier,
Corollaires.
861. V étant le volume d'une sphère de rayon n ou de diamètre D, on a
8G2. Les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes des rayons ou des diamètres.
