VIII. - APPENDICE

L — Théorème de Guldin.

892. L'importante proposition connue sous ce nom se trouve indiquée dans Pappus (fin du iv" siècle). Elle a été ensuite retrouvée par Guldin (commencement du xiv^ siècle).

THÉORÈME

893. L'aire engendrée par une ligne brisée plane quelconque, tournant caitnur d'un axe extérieur quelconque situé dans son plan, a pour mesure le produit de la longueur de la ligne brisée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Nous savons que le centre de gravité d'une ligne brisée plane est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité de ses côtis (lU).

Si la ligne brisée se réduit à une droite AB, la proposition a déjà été démontrée (761), puisque le centre de gravité d'une droite est en son milieu (714).

LES CORPS RONDS

Soient maintenant [fi^. 486) la ligne brisée plane quelconque ifNPCjR tournant autour de l'axe xy. Soient a, b, c, . . . les longueurs des côlés

jY

ja

de cette ligne; a, S, 7, ... les distances des milieux A, B, C, ... de ses côtés à l'axe xy. L'aire totale S, engendrée par la ligne brisée MNPQR, étant la somme des aires engendrées par ses côtés MN, NP, . . . , on aura (761)

S =-■ a.aîi'a -(- é.2 7rS H- C.2777 -H . . . = 2<7(«a -f- 6S -t- cy -h . . . ).

Si l'on désigne par z la distance à l'axe xy du centre des distiinccs proportionnelles des points A, B, C, . . . , on a (710)

«a -H bb^n C'f

expression de l'énoncé.

Corollaires.

894. Le théorème subsiste, quels que soient le nombre et la grandeur des côtés de la ligne brisée, c'est-à-dire à la limite, quand il s'agit d'une ligne courbe en tout ou en partie. Le centre de gravité de la ligne obtenue est alors la position limite du centre de gravité de la ligne polygonale. Par suite, l'aire engendrée /jcir une ligne courbe plane tournant autour d'un axe extérieur quelconque situe' dans son plan a pour mesure le produit de sa longueur par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Applications.

89o. 1° Quelle est l'expression de Taire engendrée par une circonférence de rayon r, en tournant autour d'une droite xy de son plan <pii ne la roupe pas ?

Soit d la distance du centre de cotte circonférence à l'axée) ; le centre d'une circoulérence est évidemment son centre de gravité, car, dans la

aSo

GÉOMÉTRIE ©ANS l'eSPACE.

recherche du centre des moyennes distances, on peut remplacer plusieurs points par leur centre particulier (713), et le centre qui correspond aux extrémités d'un diamètre quelconque est le centre de la circonférence. L'aire de la surface engendrée, qu'on appelle tore, sera donc