II. — Sur le maximum et le minimum des figures

900. Les propriétés qui font l'objet du §IUde l'Appendice du IV Livre ainsi que leurs démonstrations s'appliquent aux figures sphériques aussi bien qu'aux figures planes. Toutefois le théorème du n° 481 et son corollaire doivent alors être énoncés comme il suit :

Entre tous les triangles sphériques construits avec deux côtés donnés AB et AC, le triangle maximum est celui dans lequel l'angle A de ces deux côtés est égal à la somme B -t- C des deux autres [fig. 4 it>)-

Entre tous les triangles sp/iériques dont la somme AB -+- AC de deux côtés est donnée, le triangle maximiim est celui dans lequel ces deux côtés sont égaux et comprennent un angle A égal à la soniiuc B -t- C des deux autres.

Celte seconde proposition se déduit de la première par un raisonnement semblable à celui du n" 48:2; il ne reste donc qu'à démontrer la première.

A cet effet, laissons AB fixe; le point C sera alors astreint à rester sur un cercle w ayant A pour pôle et pour rayon spliérique la longueur donnée du côté AC. Par les points E et D symétriques de A et de B par rapport au centre de la sphère, imaginons un plan; le cercle suivant lequel ce plan coupe la sphère rencontre le cercle w en deux points Ci et Ci

ô34 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.

qui sont les sommets de deux triangles CiAB, CjAB équivalents (8S2). L'aire de ces triangles augmente avec l'inclinaison du plan du cercle sur le plan EDAB, c'est-à-dire à mesure que les points Ci et C2 se rapprochent l'un de l'autre sur le cercle w, cette aire est donc maximum quand ces deux points se confondent, et par suite le triangle maximum demandé est le triangle ABC obtenu en choisissant le sommet C sur le cercle oj Je telle sorte que ce cercle w et le cercle circonscrit au triangle DEC soient tangents; mais alors le pôle du cercle DEC est sur EC (822) ; donc on a C = G, C == 7, E = (J; et par suite A = 0. — E = 1 — â, C = 7, B= 2 — D = 2 — (^ -+- 7y, d'où, enfin, A - B + C.

901. On peut dire encore que dans le triangle maximum ABC construit avec deux côtés donnés AB et AC, le troisième côté CB est le diamètre spherique du cercle circorfscrit ; car, en imaginant l'arc de grand cercle qui partagerait l'angle A en deux parties, l'une égale à B, l'autre égale à C. on voit immédiatement, par les deux triangles isocèles dans lesquels cet arc décompose le triangle ABC, que le point où cet arc coupe BC est équidistant de A, B et C, et par suite est le pôle du cercle inscrit à ABC.

THÉORÈME

902. Parmi tous les corps de même aire, la sphère est celui qui a le plus grand volume,

Soil K un corps ayant le volume maximum sous une aire donnée, et 2 la surface qui le limite.

1° La surface 2 est conrexe, sans quoi on pourrait augmenter le volume du corps sans augmenter l'aire.

2° Tout plan A rjui divise l'aire de K en deux parties équivalentes divise aussi le volume e/i deux parties a et p équivalentes (fig. 490); car,

Fis- ^90-

si l'on avait, par exemple, « > [3, en remplaçant p par la figure tx.i symé-