LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

triqne de a par rapport au plan A, on obtiendrait un corps (a, aj) de même aire que K et de volume plus grand.

Nous donnerons, pour abréger le discours, aux plans tels que A, le nom de plans médiaiu. Par toute tangente à la surface 2!, on peut menei un plan médian (raisonnement analogue à celui du n° 13, en faisant tourner un plan autour de la tangente depuis la position où il est tangent jusqu'à ce qu'il le redevienne); de même, on peut mener un plan médian parallèle à un plan quelconque.

3° Tout plan médian A est nnriiial à la surface - en tout point de la ligne suivant lariuclle il coupe cette surface ; car, si en un point de cette ligne le plan tangent était oblique au plan A, en remplaçant l'une des parties a ou p par la symétrique de l'autre par rapport au plan A, on obtiendrait un corps ayant le volume maximum sous l'aire donnée, et qui, étant coupé par le plan tangent au point considéré, ne serait pas convexe

4° Tout plan R passant par l'intersection D de deux plans médians P et Q est un plan médian. En effet, soit X un point commun à la droite D et à la surface 2 et XT la tangente à la section que le plai] K déteruiine dans la surface i; par XT on peut mener un plan médian (2°), et ce plan doit être normal en X (3") ; mais la normale en X devant appartenir aussi aux plans médians P et Q (3°) n'est autre que D; donc le plan médian considéré est le plan DXT, c'est-à-dire le plan R.

j" Toutes les normales à la surface - passent par un même point.

Qu'on imagine, en effet, les trois plans médians respectivement parallèles aux trois faces d'un trièdre quelconque; ces trois plans formeront an nouveau trièdre. Or la normale en un point quelconque M de 2 passe par le sommet 0 de ce trièdre; car, les trois plans déterminés par le point M et par chacune des arêtes du trièdre étant médians (4"), leur droite commune OM est la normale en M (3").

G" La surface S est une sphère.

En effet, soient A et B deux points quelconques de S {fig- 49')7 0 '^

Fi{;. ',91.

point de concours des normales à cette surface, Ali la section faite dans 2

236 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

par le plan AOB. ACD . . . B, une ligne brisée inscrite dans l'arc AB,

et AMN ... TB la ligne brisée circonscrite correspondante (291 ). La relation

OA ■+- MA = O.AI = OC -^ MC donne

ôT — OC =yîc —m.\

d'où

et l'on a de même

oc - OD < Q^^^p (NC + ND),

oe-ob<ôëVôb''"= + tb).

Faisons tendre vers zéro les côtés de la ligne brisée inscrite; toutes les fractions des seconds membres des inégalités précédentes tendent vers zéro; en désignant par c la plus grande d'entre elles et ajoutant les inégalités membre à membre, on a