PROBLÈMES RELATIFS AUX CERCLES SUR LA SPHÈRE

970 I" Par deux points donnés \ et LJ, mener un cercle langent a un gni/id cercle donné KL ( fîg. i83i V

La solution est analogue à celle du problème correspondant de Géométrie plane. On joindra A cl B par un arc de grand cercle (|u'(in piolongera jusqu'à sa rencontre C avec KL, L'inconnue de la question est lo

l'èS GEOMETRIE DANS l'eSPACE.

poini T où le cercle demandé touche KL. Or, la longueur CT étant égale à celle rie la tangente sphérique menée du point C à nn cercle quelconque tracé par A et B sur la sphère, on déterminera cette longueur à l'aide d'un cercle mené à volonté par A et B, puis on la perlera sur KL en CT ou CT', ce qui donnera deux solutions.

2'' Par deux points donnés B c^ C, mener un cercle tangent à un petit cercle donné 0 [fig. i832).

Le tracé est le même qu'en Géométrie plane. Par B et C, menez un cercle quelconque qui coupe le cercle donné 0 en deux points D et E, et du point M, intersection des grands cercles BC, DE, menez deux arcs de grand cercle tangents au cercle 0; A et A' étant les points de contact, il suffira de mener des cercles par B, C, A et par B. C, A', pour avoir les deux solutions du problème.

971. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés sur la sphère. Le raisonnement et la construction sont les mêmes qu'au n" 400, à

condition de remplacer les droites par des arcs de grand cercle.

Voici quelques détails à ce sujet :

1° Par inversion, la proposition du n' 400' devient la suivante : Le^ cercles isogonaux à deux cercles de la sphère se repartissent en deux groupes tels que chacun d'eux est Jormé de cercles ayant leurs plans pafisant par un même point. Et le théorème du n" 400' se transforme en celui-ci : Les cercles irogonaux à troi^ cercles donnés sur la sphère se repartissent en quatre faisceaux tels que chacun d'eux est formé de cercles ayant pour axe radical commun l'un des 'quatre axes de similitude des trois cercles donnés. D'ailleurs le lieu des pôles des cercles isogonaux d'un même faisceau est le grand cercle mené perpendiculairement sur l'axe de similitude par le centre radical des trois cercles donnés (car parmi les cercles orthogonaux figure le cercle orthogonal aux trois cercles).

2° Le théorème du n" 400*" subsiste puisqu'il exprime que le point H est le centre radical commun à tous les cercles isogonaux et au cercle 0. On le voit directement en observant que H est sur le rayon de la sphère qui passe par le point où l'axe- du faisceau coupe le plan du cercle 0.

Il résulte de là que la construction indiquée au n° 400 pour tracer un cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan s'applique à trois cercles donnés sur une sphère.

Il y a encore huit solutions (réelles ou imaginaires), et les conclu sions de la discussion subsistent entièrement.

972. Décrire sur une sphère un cercle X qui coupe trois cercles donnés A, B, C, sous des angles donnés a, (3, y.