LIVRE VIII. — LES OOIJRBRS USUELLES. agi

somme 2« des rayons, il suffit, pour l'iritcrseclion des

deux circonférences, qu'on ait, en supposant K à droite de O,

FF'>A'K-AK ou 202a — 2AK.

La condition cherchée est donc AK >» a — c ou AK > AF,

D'ailleurs, on peut échanger les centres F et F' sans modifier les rayons employés, de manière à obtenir pour chaque point K quatre points M et M', N et N' de l'ellipse. Les limites des positions du point. K sont alors l'un des foyers F et le point 0. Tout cela résulte immédiatement de la symétrie de l'équation de condition MF + 1MF'= ?.« par rapport aux deux rayons vecteurs d'un même point.

Si le point K est en 0,les points correspondants de l'ellipse sont en B et en B' sur la perpendiculaire élevée à la droite FF' par son milieu. Si le point K est en F, les deux points correspondants de l'ellipse sont en A et en A'. Le rayon vecteur minimum est AF ou « — c, le rayon vecteur maximum est A' F ou « + c.

973. L'ellipse a : i" pour axes, la droite AA' qui passe par ses deux foyers et la droite BB' perpendiculaire au milieu de la première: 7." pour centre, l'intersection de ces deux droites.

On appelle axe d'une courbe toute droite par rapport à laquelle les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux; on appelle centre d'une courbe tout point par rapport auquel les divers points de cette courbe sont symétriques deux à deux {638).

1° Soit M un point de l'ellipse [Jig. 5i3); on aura

MF -h MF' = 2 a.

Supposons alors que le plan de la ligure fasse une demi-révolution autour de AA'. Dans ce mouvement, les foyers restent fixes, le point M vient dans la position symétrique M, et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a

c'csl-à-dire que le point M, appartient à l'ellipse. Donc à tout

point M de l'ellipse correspond un point M,, symétrique de M par rapport à AA'.

Si le plan de la figure fait de même une demi-révolulion autour de BB', les foyers ne font que s'échanger, le point M vient dans la position symétrique M, et, comme le triangle MFF' ne se déforme pas, on a encore

ce qui montre qu'à tout point M de l'ellipse correspond un autre point M, de la courbe, symétrique de M par rapport à BB'.

Fig. 5i3.

Fig. 5i5.

1° L'autre partie de la proposition n'est qu'un cas particulier de ce théorème plus général : Quand une courbe possède deux axes rectangulaires xx' et jy' , leur intersection 0 est un centre de la courbe {Jig. 5i4)-

Soient M un point de la courbe, M' son symétrique par rapport au point 0, et N l'intersection des parallèles menées respectivement aux deux axes par les points M et M'. L'égalité des triangles rectangles MOP, OM'P' donne

MP=:OP' = PN et M'P' = OP=P'N.

Le point N est donc à la fois symétrique de M par rapport à xx' et symétrique de M' par rapport à ry'. Or, le point N étant sur la courbe comme symétrique de M, le point M' en fait aussi partie comme symétrique de N. Donc à tout point M de la courbe correspond un point M' symétrique de M par rapport à 0.

Il résulte de là que le milieu O de la distance focale FF' est un centre de l'ellipse.