LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. 2q

On peut d'ailleurs le démonirer directement comme il suit [fis- 5i5).

Soient M un point de l'ellipse et M' son symétrique par rapport à 0; menons les rayons vecteurs de ces points. Les diagonales MM' et FF' se coupant mutuellement en parties égales, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme, et le point M' appartient à l'ellipse en vertu de l'égalité des deux contours F M F' et F M' F'.

Corollaires.

976. On appelle longueurs des axes de l'ellipse les longueurs AA' et BB' interceptées sur ces axes par la courbe [fig. 5i3). La longueur du premier axe AA' est donc {974) égale à za, la longueur du second BB' est représentée par ib.

La perpendiculaire BO {Jig.5i3) étant moindre que l'oblique BF = a, on a

h<Za.

AA' est dit alors le grand axe et BB' le petit axe de l'ellipse.

Les extrémités A et A', B et B' des deux axes sont appelées les sommets de la courbe.

Le triangle rectangle BOF [fig. 5i3) donne a^ = h'' -v- c"^ , relation qui permet de déterminer l'une des trois quantités a, b, c, lorsqu'on connaît les deux autres.

977. Quand on donne les longueurs a et b, il est facile de déterminer graphiquement les foyers : on n'a qu'à décrire de l'extrémité B du petit axe comme centre {/ig. 5i3), avec un rayon égal à a, un arc de cercle qui coupe le grand axe aux deux foyers F et F'.

THÉORÈME

978. Suivant qu un point est intérieur ou extérieur à l'ellipse, la somme de ses distances aux deux foyers est plus petite ou plus grande que s>. a.

Soit d'abord {Jîg.5i6) un point N intérieur à l'ellipse. Joignons ce point aux deux foyers, |)roloiigeons F'N jusqu'à la rencontre de la courbe en M, et menons MF. Un théorème connu donne immédiatement

NF -1- NF' < MF -+- MF' ou NF -+ NF' < a.i.

294 «fOMÉTRIK DANS LESPACE.

Soil (\g même un nointN' extérieur à i'ellipse. Joignons ce poini aux deux foyers; N' F' coupant la courbe au point M,

Fig. 5i6.

menons MF. En s'appuyanl sur le même théorème, on aura ici N' F + N' F' > MF H- MF' ou N' F -f- N' F' > -xa.

COKOLLAIRE.

979. Le théorème précédent, rapproché de la définition de l'ellipse, fournit un critérium pour juger de la position d'un point quelconque du plan de la courbe par rapport à cette courbe supposée non tracée. Siifi'anl que la somme des distances d'un point aux deux foyers est supérieure, égale ou inférieure à in, ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur.

THÉORÈME

980. La tangente à l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point de contact, extérieurement à leur angle.

Prenons sur l'ellipse [fig-^^']) deux points voisins M et M' ; menons la sécante MM'S et les rayons vecteurs des deux points M et M'. Portons sur F'M une longueur F'D = F'M' et sur FM une longueur FC = FM'. Le segment MD représente alors l'augmeniation que subit le rayon vecteur mené du foyer F' quand on passe du point M au point M', et MC la diminution que subit le rayon vecteur mené du foyer F quand on passe du même point M au même point M' ; comme la somme des rayons vecteurs d'un point de l'ellipse reste constante, MD est égal à MC.

Cela posé, d'un point quelconque G de la sécante MM'S,