T.IVRE VIII

LES COURBES USUELLES

menons aux droites M'D et M'C des parallèles GI ei (ill jiisquà la rencontre des rayons vecteurs du point M. Le quadrilatère GHMI étant semblable au cjuadrilatère M'<>MF) ;208', l'égalilé de Ml) et de MC entraîne celle de MI et de Mil. D'ailleurs, les droites GH et GI, étant parallèles aux bases M (^ et M'D des triangles isocèles CFM', DF'M', sont perpendiculaires aux bissectrices de leurs angles au sommet.

Quand le point mobile M' se rapproche du point fixe M, la sécante MM' S tend vers la tangente au point M. Les bissectrices des anj^Ies CFM', DF'M', ayant alors pour limites les rayons vecteurs FM, F' M du point M, les droites GII et GI ont elles-mêmes pour limites les perpendiculaires abaissées du point G sur ces rayons vecteurs. D'ailleurs, pendant ce mouvement, MH et MI varient en restant égaux entre eux.

Fi{j. 517.

FiîT. ôi3

On voit, d'après cola,, en passant à la limite, que ce (jui caractérise la tangente MT au point M {fig. 5i8), c'est que, si, d'un point quelconque G de cette droite, on abaisse des perpendiculaires GII et GI sur les rayons vecteurs MF et MF' du point M, on ait Mil = MI. Les triangles rectangles MGII, MGI sont alors égaux, et il en est de même des angles GMII, GMI. La tangente à l'ellipse est donc bissectrice de l'an^ie formé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l'autre rayon.

L'angle F'MT, étant l'opposé par le sommet de Tangle GMI, les deux angles GMIÏ ou FMT et F' M T, sont égaux, ce qui vérifie le premier énoncé du théorème.

COROLLAIRFS.

981. La droite V':^, qui joint un foyer F' de l'ellipse au syimUrique cp de l'autre foyer F par rapport à une tangente

quelconque TT, , passe par le point de conlocl M de cette tangente et est égale à la longueur ■2.a du grand axe [fig. Siq). En effet, joignons le point de contact M aux points F', F et 9, et désignons par K le point où F<p rencontre la tangente TT,» L'égalité des triangles MKF, MKcp, qui ont un angle droit compris entre deux côtés égaux entraîne celle des angles KMF,

lig. 519.

RM©; d'ailleurs, d'après le théorème précédent, le prolongement de F' M doit faire avec MT un angle égal à KMF; donc le prolongement de F' M n'est autre que M9, ce qui démontre la première partie de l'énoncé. D'autre part, les mêmes triangles donnent M9 = MF, d'où l'on déduit

F cp = FM + M9 = F'M + MF = ia.

982. Tous les points de la tangente à l'ellipse sont extérieurs à la courbe, sauf le poitit de contact.

En effet, la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de F9, un point quelconque T, de cette droite est équidistant de F et de o. On a donc, d'après le triangle F'Ïi9j,

T,9-f-T,F' ou T|F + T,F'>> F'o ou 2rt.

Tous les points de la tangente MT, sauf le point M, sont donc extérieurs à l'ellipse (979j.

La tangente en un point d'une courbe peut couper la courbe en d'autres points; mais elle a nécessairement (111) avec la