LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLES. Sg-j
courbe au moins un point commun de moins que les droites qui en ont le plus. De ce qu'on vient de (iémonirer, il rt'sulte donc qu une droite ne peut rencontrer l'ellipse en plus de deux points, c'est-à-dire que l'ellipse est une courbe convexe.
983. Si l'on mène au point M [Jig. 5i8) la perpendiculaire MN à la tangente MT, les deux angles FMN, F'JNIN sont égaux comme compléments d'angles égaux. Donc, la normale à l'ellipse est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs du point de contact.
La normale en un sommet de l'ellipse se confond avec l'axe correspondant, et la tangente est perpendiculaire à cet axe, de sorte que la courbe est inscrite dans le rectangle construit sur ses axes.
Les propriétés précédentes justifient la dénomination de foyer. L'angle d'incidence et l'angle de réllexion étant égaux, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui partent de l'un des foyers F d'une ellipse, viennent, en vertu d'une loi physique, après leur réflexion sur la courbe, converger à l'autre foyer F'.
THÉORÈME
984-. Le lieu des symétriques © de l'un des foyers F de l'ellipse par rapport aux tangentes est un cercle décrit de l'autre foyer Y' comme centre, avec la longueur o.a du grand axe pour rayon {fig. 5 19).
D'abord, tout point 9 du lieu est sur le cercle en question, puisque (981j F'cp est égal à ia. ^
Inversement, tout point 9 de ce cercle est le symétrique de F par rapport à une certaine tangente à l'ellipse qui a F et F' pour foyers et le rayon F'' 9 pour la longueur de son grand axe. En effet, soit M le point où F'' 9 rencontre la perpendiculaire TT, sur le milieu K de Fo. L'égnlité des triangles KAFF. KM 9, qui oui un angl(> droit compris entre deux côtés égaux, donne MF =:M9, d'où l'on (l('(luiiMF' + MF = MF'-+-M9 = F'9; donc (979) le point M apparlienl à l'i^llipse. T.es mêmes triangles entraînent, en outre, l'égalité des angles* K.MF', KM 9, et par suite celle des angles KM F, T, MF"'. Donc, la droite T T, est la tangente à l'ellipse; en M ^980 . Donc, enfin, le point 9 du cercle est le symétricjue de F par rapport à la tangente K T .
2g8 GÉOMÊTKIE DANS L'eSI'ACE.
On donne au cercle F'cp le nom de cercle directeur relatif au foyer F'. Au foyer F répond aussi un cercle directeur de môme rayon 2 a.
THÉORllME.
985. Le lieu des projections des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est la circonférence de cercle décrite sur le grand axe comme diamètre.
Fis. 520.
Soient {Jig: 5-20) F et F' les deux foyers, K la projection du foyer F sur une tangente quelconque TT, et 9 le symétrique de F par rapport à cette tangente. Le côté F'o du triangle FF'9 étant égal à 2a (981), la droite OK qui joint les milieux des deux autres côtés est égale à a, Le point K appartient donc à la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.
Réciproquement, tout point K de cette circonférence est la projection de l'un des foyers F sur une tangente; car, si l'on prolonge FK d'une quantité Kcp = KF, on aura
F'9 = 2OK = 2rt.
Par suite le point cp appartient au cercle directeur relatif au foyer F', et Ton a démontré au n" 98i que tout point de ce cercle est le symétrique de F par rapport à une tangente à l'ellipse. Le cercle OK est dit le cercle principal de l'ellipse^).
SCOLIE
98(). Si le sommet d'une équerre décrit le cercle principal d'une ellipse, pendant que l'un de ses côtés passe constamment par un foyer de la courbe, l'autre côté de l'équerre lui reste toujours tangent.
( ') Si l'on considère, au lieu delà projection orthogonale K du foyer F sur 1> tangente T, T, la projection oblique L sous un angle donné a, le lieu du point L serait encore une circonférence. On le voit en remarquant qu'on passe du lieu (K) au lieu(L) par une rotation suiv>f> r*'s»ne dilatation.
LIVKE VIII. — LKS COUHBES USUELLES. ?.99
THÉORÈME
987. i" Le lien des points équidistants d'nn cercle de centre F' et d'nn point intérienr F est nne ellipse dont les points F et F' sont les foyers et dont le grand nxe est égal au rayon du cercle [Jig. 5 19).
En effet, soit M un point du lieu; sa dislance à la circonféi"ence est égale au segment M9 obtenu en prolongeant le rayon F' M jusqu'à sa rencontre avec cette ligne. On a donc MF = M9, et par suite FM + MF = FM + M9 = F'o. Le point M appartient donc à l'ellipse définie dans l'énoncé.
Inversement, tout point M de cette ellipse est équidistant de la circonférence et du point F; car, puisque F'M + MF est égal à F'o, c'est-à-dire à F'M h- M9, c'est que MF est égal à Mo.
a° La tangente en un point quelconque M du lieu est j.'erpendiculidre sur le milieu K de la droite qui joint le point intérieur F à l'extrémité 9 du rayon F'M passant par yi.
En effet, la tangente doit être également inclinée sur MF et MF', ou, ce qui revient au même, être la bissectrice de l'angle 9MF, et, comme ce triangle est isocèle, elle est perpendiculaire sur le milieu de la base F9.
988. De là résulte, pour l'ellipse, un nouveau tracé donnant à la fois le point et la tangente :
De l'un des foyers F', comme centre, décrivez un cercle de rayon égal à -la; joignez l'autre foyer ¥ à un point quelconque 9 de ce cercle, et menez la perpendiculaire TT, sur le milieu de F9; cette perpendiculaire coupe le rayon F' 9 en un point M du lieu, et elle est en outre la tangente en ce point.
PROBLÈME
