III. — DROITE ET PLAN PERPENDICULAIRES

DÉFINITIONS

'.'){i. On (lit (|iiuiic droite el un plan sont ptrjjeiidtculiUit'S l'an, à l'aulre lorsque la droile est perpendiculaire (oOS) à loules les droites parallèles au |)lan ou situées dans le pl;ni.

513. Il suit immédiatement de celle délinition quo : !" .SV deux droites V cf B sont parallèles, tant plan V jierpendiculaire à la première est ptrjitndicalaire à la seconde; car toute droite parallèle au pl:m P ou située dans ce plan, étant perpendiculaire à A, est aussi 508) perpendiculaire à B. ■1° Si deux plans P et O soat parallèles, toute droite \) perpendiculaire au premier est perpendiculaire au second; ( a ■

19, GÉOMÉIIUK DANS L ESPACE.

toute droite parallèle au plan P ou située dans ce plan est parallèle au plan Q ou située dans ce plan (502).

On énonce souvent ces deux propositions en disant : Deux droites parallèles ont leurs plans perpendiculaires communs, et deux plans parallèles ont leurs perpendiculaires communes.

THÉORÈME

ol4. Pour qu'une droite AB soit perpendiculaire à un plan P, il sufjit qu'elle soit perpendiculaire à deux droites D et I)', non parallèles entre elles, situées dans le plan P ou parallèles au plan P [Jig. 285).

Fig. 285.

Remarquons dabord que la droite AB rencoritre le plan P; car, sans cela, en menant pai- un point du plan P des parallèles aux droites AB, D et D', on aurait dans ce plan (497) trois droites concourantes dont la première serait perpendiculaire aux deux autres.

Cela posé, par le point B où la droite AB rencontre le plan P, menons des parallèles Bc?, Bf/', Bô, aux droites D et D' et à une troisième droite quelconque A parallèle au plan P ou située dans ce plan. Les trois droites B<^/, Bff, Bô, seront contenues dans le plan P (497); AB sera perpendiculaire aux deux premières B^/, Bf/' (508); et, pour établir le théorème énoncé, il suflira de prouver que AB est aussi perpendiculaire à la troisième droite Bô.

A cet eft'el, par un point quelconque ô pris sur Bô, traçons dans le plan P une droite qui ne soit parallèle ni à Bt/ ni à ^d' ,

LÎVUK V. — LU l'LAN.

et qui les rencontre aux points il et </' ; prolongeons Ali, de l'autre côté du plan P, dune longueur BA'=AB, et joignons chacun dos points A et A' aux trois |)oints d, o, </' .

De l'égalilé des triangles WUi et X'Vu/ el de celle des triangles ABrf' et A'Bc?', on déduit respectivement Ad = A'd el Ad'=\'d'. Les deux triangles \dd' et A'f/</'sonl donc égaux. Cette égalité entraîne l'égalité des angles A </o, \'d6, par suite celle des triangles A.dd, A'd$, et enfin celle des longueurs Ad et A'o.

La droite Bô ayant deux de ses points, B et o, également distants des extrémités A et A', est perpendiculaire sur le milieu B de AA', et AB, à son tour, est perpendiculaire sur B(3.

ScoLir.

Mo. Le point B où la perpendiculaire AB rencontre le plan P est \e pied de la perpendiculaire.

Une droite est dite oblique à un |)lan, lorsqu'elle rencontre ce plan sans lui être perpendiculaire.

THÉORÈME

516. Par an point donné A, on peut toujours mener un plan perpendiculaire sur une droite donnée W , et l'on ne peut en mener quun.

1° Supposons le point A situé sur la droite XV [Jig- '^86). Dans deux plans dilïérents passant par XY, menons à cette

droite les perpendiculaires AB et AC; elles détermineront un plan P, perpendiculaire a XY au point A 514).

11 n'existe pas d'autre plan perpendiculaire à X\ au puini V. En eflet, tout plan mené per|)en(liiulaiiem(MU à X\ par le point A doit couper le plan XAH suivant la [•er[)en<licnlair;: A!»

à XY (512), et le plan XAG suivant la perpendiculaire AG à cette même droite; il ne diffère donc pas du plan P,

2° Supposons le point A extérieur à la droite XY [Jîg- 287).

Soit UZ la parallèle à XY menée par A. Les droites paral-

lèles XY et UZ ayant leurs plans perpendiculaires communs (513), dire que par le point A on peut abaisser un plan perpendiculaire sur XY et qu'on ne peut en abaisser qu'un, c'est dire que, par le point A, on peut élever un plan perpendiculaire sur UZ et qu'on ne peut en élever qu'un; or c'est ce que nous venons d'établir fi").

ConOLLAIRE.

^il .. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles ou coincident ; car s'ils se coupaient, d'un point de leur intersection, on pourrait mener deux plans perpendiculaires sur la même droite, ce dont nous venons de démontrer l'impossibilité.

THÉORËME.

518. Par un point donné A, on peut toujours mener une droite perpendiculaire à un plan donné V, et l'on ne peut en mener qu'une.

1° Supposons le point \ situé dans le plan J' [Ji;;. 288). Considérons à part une droite OH cl le plan Q élevé perpendiculairement à cette droite par Vwu de ses points 11; puis, transportons celte fij^ure tout d une pièce, de manière que, le plan Q s"appli(iuanl sur le i)lan P, le point H coïncide avec le point A. La dioile Oïl, dans sa nouvelle posi-

LIVRK V. — LE TLAN. l5

lion, sera une perpendiculaire AB menée au plan P par le point A.

FijT. aSX.

On ne peut en mener (jii'une; car, si l'on pouvait en mener deux, AB et AB', le plan BAB' couperait le plan P suivant une droite AC perpendiculaire à la fois à AB et à AB'.

a" Supposons le point A extérieur au plan P [Jig'. ■^-89).

Fig. 289.

Soit Q le plan mené par A parallèlement au plan P. Les plans parallèles P elQ ayant leurs perpendiculaires communes (313), dire «lue, par le point A, on peut abaisser uîie perpendiculaire sur le plan P et qu'on ne peut en abaisser qu'une, c'est dire que par le point A on peut élever une periiendiculaire sur le plan Q, et (|u'<jn ne peut en élever qu'inie; or c'est ce que nous venons d"<''lablir (i").

CoïKii.i.Anu:.

olî). Dftux droites A et B, perpendiculaires à un même plan V. sont parallèles ou coïncident.

En effet, si les droites A et B ont un [xiint c(»nnniMi, elles coïncident, puisque, de ce point, on ne peut mener qti'une perpendiculaire au plan P. Si les droites A et B n'ont pas de point commun, imai,'inons, par un point >F de B, la parallèle A' à A. Cette droite A' sera perpendiculaire au plan P (513'; elle coïncidera donc avec B, puis<|ue, du point M, on ne peut mener (|u'une perpendiculaire au plan P,

l6 GÉOMÉTRIE DANS L KSPACt;.

Les propositions des n°= 517 et 519 sont les réciproques de celles du n" 513.

THÉORÈME

520. Si une droite AB est perpendiculaire au plan P, toute perpendiculaire CD à la droite AB est parallèle au plan P, ou située dans ce plan [/îg. "290).

En effet, menons par le point A la parallèle AE à CD : Tangle BAE sera droit. Par suite, la droite AE sera contenue dans le plan P; car sans cela le plan BAE couperait le plan P suivant une autre perpendiculaire à AB (512), et l'on aurait au point A, dans le plan BAE, deux perpendiculaires sur BA, ce qui est impossible. La droite CD, étant alors parallèle à une droite AE du plan P, est parallèle à ce plan ou située dans ce plan (W7).

Celle proposition est la réciproque de la définition adoptée au n° 512.

COUOLLAIUES.

521. Le lieu géométrique des perpendiculaires que l'on peut mener à une droite AB par un point C est le plan P mené par ce point perpendiculairement à la droite AB [Jig. ^9')) car l'une quelconque CD de ces perpendiculaires doit être parallèle au plan P ou y être contenue tout entière : c'est ce dernier cas qui a lieu ici, puisque la droite CD a déjà un point commun avec le plan P.

Fie B

Fi g A

522. Le lieu des points de l'espace équidistants des extrémités d'une droite XY est le plan élei'é perpendiculairement sur le milieu de cette droite [Jig. 286). En effet, dans un plan quelconque XYB passant par XY, le lieu des points équidistants des extrémités de cette droite est la perpendiculaire AB élevée dans ce plan sur le milieu A de XY; or on vient de Y«ir que le lieu des diverses perpendiculaires élevées sur XY