Les tangentes PM, PM', menées à l'ellipse par un point

extérieur V, font des angles égaux ai'ee les droites qui vont

du point P aux deux foyers; la droite qui va du point P à

l'un des foyers est bissectrice de l'angle formé par les rayons

vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M

et M' [fS- 5'i'3j.

Fi-T. 523.

Menons les deux cercles directeurs de l'ellipse. 9 étant le gyinélricjue de F par rapport à la tangente PM et 9' Iç s^mçt

GÉojiÉrniE DANS l'espace.

trique de F' par rapport à la tangente PM', les deux triangles PF9' ei PF'9 sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Les angles FPg' et F'P<p sont donc égaux. Si l'on enlève la partie commune FPF', les restes FPcp, F'P©', sont égaux, ainsi que leurs moitiés MPF, M'PF'.

En second lieu, l'égalité des triangles PFç-', PF'tp, entraîne celle des angles PFcp', PoF'. Mais les deux triangles PM©, PMF étant égaux, l'angle P9F' est aussi égal à l'angle PFM, et la droite PF est la bissectrice de l'angle MFM'.

PROBLÈME

99*2. Mener à l'ellipse une tangente pnrallt'le à une droite donnée.

Tout revient encore à trouver le point symétrique 9 de l'un des foyers F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point est à l'intersection du cercle directeur relatif au foyer F' (984) ei de la perpendiculaire menée du foyer F sur la droite donnée DD' [fig. 524). Celle perpendiculaire coupe toujours le

Fig. 524.

Fig. 525.

cercle F' en deux points 9 et 9,, puisque le point F est intérieur à ce cercle. Les perpendiculaires TT, et T'T', élevées aux droites F9 et F9, par leurs milieux sont les tangentes demandées, et leurs points de contact M et M' sont à leurs ren^ ççnires respectives avec les rayons F'9 et F'9, (988).

LITRE Vm. — IKS C0URBF8 CSUELLES. 3o3

Corollaires.

993. Les deux points rie contact M et M' des deux tangentes parallèles TT,, T'T', sont symétriques par rapport au centre 0 de l'ellipse.

En effet, les triangles FM 9, FM'©,, cpF'cp, sont des triangles isocèles ayant tous un angle égal à la base; ils sont donc semblables et ont leurs côtés parallèles. La figure MFM'F' étant un parallélogramme, la diagonale ^FM' passe par le milieu 0 de la diagonale FF' et y est divisée en deux parties égales.

Inversement, les tangentes menées à l'ellipse en deux points symétriques par rapport au centre sont parallèles. Car le quadrilatère MFM'F' étant dans ce cas un parallélogramme, puisque ses diagonales se coupent en parties égales, les angles FMo, FM' 9, ont leurs côtés parallèles et sont égaux. Il en est donc de même de leurs moitiés 980) FMT, OiM'T', ce qui entraîne le parallélisme des tangentes MT,M'T', aux points M et M'.

99i. La propriété précédente appartient d'ailleurs à toutes les courbes à centre. Dans toute courbe à centre, les tangentes en deux points M et M' symétriques par rapport au centre 0 sont parallèleset, par suite, équidistantes du centre.

En effet, si N [Jig. 5x5 ) est un point de la courbe voisin de M, et N' son symétrique par rapport à 0, l'égalité des triangles MON, M' ON', prouve le parallélisme des cordes ou sécantes MN, M'N', et leur égale distance au centre. Quand N tend vers M, N' tend vers M'. Les deux sécantes tournent donc à la fois autour des points M et M', de manière à devenir ensemble tangentes, en restant toujours parallèles ei équidistantes du centre.

995. Les points K et K' [Jig. 624) appartiennent au cercle principal de l'ellipse (985). Les deux segments FK, FK', étant alors ceux d'une corde quelconque de ce cercle passant par le foyer F, leur produit est constant. On peut donc dire que le produit des distances d'un foyer à deux tangentes parallèles est constant. Si l'on mené par le foyer F' la corde LL' du ceirle principal qui e>t parallèle à KK', on a évidemment FK' = F'L. On peut donc dire aussi que le produit des dislances des deux

3o4 GÉOMÉTRIE UAXS L ESPACE.

foyers à une même tangente est constant. Si Ton veut connaître celle constante, il suffit de considérer la tangente à i'une des extrémités du petit axe, et Ton obtient immédiatement le carré du demi-petit axe 6' pour sa valeur.

SCOLIH.

996. Les constructions des n''^ 989 et 992 n'exigent pas que la courbe soit tracée.

PROBLÈME

997, Étant donnés les foyers F et F' et le grand axe AA' d'une ellipse, déterminer ses points de rencontre avec une droite DD' {Jig, 626).

Fig. 526.

Supposons le problème résolu, et déterminons le symétrique © du foyer F par rapporta DD'. M étant l'un des points de rencontre de la droite DD' avec l'ellipse, on aura M 9 = MF. Prolongeons F'M d'une longueur MG = MF; F' G sera égal à AA', et le point G appartiendra au cercle directeur relatif au foyer F'. Le cercle décrit du point M comme centre avec MF pour rayon passe donc par les deux puinis F et © et est langent au cercle directeur F'G. La question est ainsi ramenée à trouver le cenire M d'un cercle passant par deux points donnés F el 9 et tangent à un cercle donné F'G. Nous avons résolu ce problème (262, 2").

Comme le foyer F est intérieur au cercle directeur relatif au loyer F', il y aura évidemment deux solutions, une seule ou aucune, suivant que le point <p sera lui-même intérieur, com-