II. — PBOPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L'HYPERBOLE

999. Lliyberbole est une courbe plane lelle, que la différence des dislances de chacun de ses points à deux points fixes de son plan est égaleà unelongueur constante. Ainsi !^"«-. 527), les deux points fixes étant FetF' et la longueur donnée étant représentée par la droite A A', on aura pour tout point M de l'hyperbole

MF-MF'=d=AA', suivant ([ne K' point considéré sera plus éloigne du point F ou du point F'.

D'après cela, pour décriie un are d'iiypi'rbole d'un niouve-

l'ig. J27.

ment continu, on prend une règle F'K dont on fixe Tuno des exliéniités au point F' Ji^. ~ri.']\, de manière; (|u"elle puisse seulement tourner autour de ce point. Un lil dont la longueur est moindre que celle de la règle de la constante AA' est fixé

(') Quand la droite DH' est langfiiti', f est eu G; en d'autres termes, G est alors le s\niftii«|ue de !•" par rapport a DD'; donc DD' est la bissectrice de i'an;;lç GMF. ce qui fournit une seconde deuionsti-alion delà propriété t'otitki- -SîtîS'ialc de la tauijctite. Mais cette iléniunst ration a, comme beaucoup d'iiu très plus ou moins inj;énieusi!s, le tort iVélva parcicutirre ; celle que nous Hvoiis donnée au n° O'SO est bien préferah'.e, car <'lle consiste uaiis l'application à l'ellipsi' de la méthode (jéiiéra/e pour la dcttMiuiualiun des tan{;entes dans le système bipolaire. P.. et DF. C. — Tr. rie Céom. ( W Partie). 20

3o6 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

par Tune des ses extrémités au point Fet, par l'autre, aupointK. Si l'on tend alors constamment ce fil le long de la règle à l'aide d'un crayon, en faisant tourner la règle autour de F', la pointe du crayon trace un arc de l'hyperbole demandée; car, pour une position quelconque M de cette pointe, on a (dans le cas de la figure)

MF— MFr=(MF +MK) — (MFh-MK) = AA'.

En prenant pour centre de rotation de la règle le point F, et en attachant la seconde extrémité du fil au point F', on obtient la seconde partie de la courbe. Quand la règle est au-dessus de FF', le fil doit être tendu contre son arête inférieure; c'est l'inverse quand la règle est au-dessous de FF'.

On voit que l'hyperbole est formée de deux parties qui ne peuvent avoir aucun point commun, puisqu'on a toujours, pour la partie de droite de la figure, MF' >■ MF, et pour celle de ga uche, MF>>MF'. Chaque partie, c'est-à-dire chacune des deux branches, s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous de la droite FF' ; rien ne limite en effet l'éloignement des points obtenus sur la courbe, que la longueur même de la règle et du fil employés.

1000. Les points F et F' sont les foyers de l'hyperbole, les droites MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. La longucurAA' est ordinairement représentée paria. La distance FF' sc\)owme distance focale al on la représente par ac. L'existence du triangle MFF' entraîne la condition 2c >- 9.a ou c>> a.

Le rapport - est l'excentricité de l'hyperbole. Cette excentricité peut varier de i à co . Pour c =: a, elle est égale à i, et l'hyperbole se réduit aux deux portions de la droite FF' qui sont séparées par la distance FF'; pour a=z o, elle est infinie, et l'hyperbole se réduit à la perpendiculaire élevée sur le milieu de FF'. Entre ces deux limites, l'hyperbole se rapproche d'autant plus de la droite FF' que l'excentricité est plus petite.

1001. On peut aussi tracer l'hyperbole par points {fig. 5z8). En efïet, marquons le milieu 0 de la dislance focale FF' et, de part et d'autre du point 0, prenons OA = OA' = a, puis Un point K quelconque sur le prolongement de OA. Si des