LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

points F et F' comme centre, avec des rayons respecUvement égaux à AK et à A'K, nous décrivons des arcs de cercle, leurs

nV

points d'intersection M el M' appartiendront à l'hyperbole, car on aura

MF' — MF = M' F' - MF = A' K — AK = sa.

La dislance des centres FF' étant toujours [)lus grande que la différence la des rayons, il suffit, pour l'intersection des deux circonférences, que cette distance soit moindre que la somme des rayons, c'est-à-dire qu'on ait

FF'<AK+A'K ou -20 < iAK -h 9.a.

La condition cherchée est donc

AK>t~a ou AK>AF.

Comme on peut échanger les centres sans modifier les rayons, chaque point K permet d'obtenir quatre points M et M', N et N' de l'hyperbole. Le point K doit seulement être au delà du point F, sans que rien limite sa position à droite de ce point. Ce que nous venons do dire résulte d'ailleurs de la symétrie de l'équation de condition MF' — MF = ±2^, par rapport aux deux rayons vecteurs.

Si le point K est en F, les p(iints correspondants de l'hyperbole sont les points A et A'. Le rayon vecteur minimum este — a; il n'y a pas de rayon vecteur maximum, puiscpie les rayons vecteurs d'un point de la courbe peuvent croître Jusf^u'à l'infini.

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

THÉORÈME

1002. L'hyperbole a : i" pour axes, la droite AA' qui passe par ses deux foyers, et la droite ^W perpendiculaire au milieu de la première; i° pour centre, l'intersection 0 de ces deux droites {fig. 628).

Même démonstration que pour l'ellipse (975), en considérant la différence des rayons vecteurs au lieu de leur somme.

1003. Des deux axes AA' et BB', le premier seul rencontre la courbe. L'axe AA' est dit l'axe transverse de l'hyperbole, l'axe BB' est dit son axe non transverse. Les extrémités A et A' de l'axe transverse sont les sommets de la courbe.

Un point du plan est dit extérieur à l'hyperbole lorsqu'il est situé entre les deux branches (F) et (F'): il est dit intérieur s'il est placé soit à gauche de la branche (F'), soit à droite de la bi-anche (F).

1004. Suivant qu'un point est intérieur ou extérieur à l' hyperbole, la différence de ses distances aux deux foyers est plus grande ou plus petite que ia {fig. 529).

Fig. 529.

Soit N un point intérieur et supposons, pour fixer les idées, qu'il soit à droite de la branche (F); NF' coupera cette branche en un point M, et on aura

NF<MNh-MF, d'où NF'-NF>NF' — MN-MF,