LIVRE VIII

LES COURBES USUELLES

c csl-a-dire

\F' — NF > MF — MF ou 9. a.

Soit N' un point extérieur; JN'F coupera la branche (F) en un point M, et on aura ?sT'F'^j>T, ^^jp, ^1^,, NF— MX— MF<MF — MF,

c'est-à-dire

Corollaire.

1005. Ce tiiéorème, rapproché de la détinilion de la courbe, fournil un critérium pour juger de la position d'un point quelconque de son plan par rapport à l'hyperbole supposée non tracée. Suivant que la différence des distances du point considéré aux deux foyers est inférieure, égale ou supérieure à 2rt, ce point est hors de la courbe, sur la courbe ou dans son intérieur.

THÉORÈME

1006. La tangente à C hyperbole est la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs du point de contact {fig. 53o, 53 1 ).

Même démonstration que pour l'ellipse (980), en remarquant que dans l'ellipse les rayons vecteurs d'un même point varient en sens contraires, tandis que dans l'hyperbole ils varient dans le même sens.

1007. Réciproquement, ta cnurbe dont la tangente fait des angles égaux, extérieurement ou intérieurement, a\'cc les rayons veeteurs menés du point de contact à deux points fixes, est une ellipse ou une Inperbole dont ces points fixes .sont tes foyers.

En effet, si l'on abaisse d'un point G de la tangenie MX [fig. 53o) des

Fit;. 53o.

perpenrliculaires GII et GI sur les rayons vecteurs (iu point M, \o< Irian.ules rectanjiles ainsi formés seront ('•.i.'aiix. piiiscpio la liin.ïenle os!, \r,M liypothèse, la bi&seclrice de l'angle HMl; ou aura donc MU = Ml,

3io

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

Considérons maintenant la sécante MM S \ fîg. 53 1) qui coupe la courbe en M et en M', et portons les rayons vecteurs du point M' sur ceux du point M en FC et eu ï D. Si l'on mène alors d'un point G quelconque de

la sécante les parallèles GH et GI à M'C et à M'D, les quadrilatères M'CMD, GHMI, seront semblables, et l'on aura constamment