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Cela posé, soient P et Q deux points quelconques de la courbe, mais tels qu'en allant de P en Q le rayon vecteur relatif au foyer F aille toujours en croissant; alors le rayon vecteur relatif au foyer F' ira toujours en décroissant ou toujours en croissant. Concevons l'arc PQ divisé en «parties telles, que, lorsque/? croît indéfiniment, chacune des parties tende vers zéro; désignons par u et c les rayons vecteurs de P, par «' et v' ceux de Q, et par («i, l'i), (w^, c,), . . ., (//„i, .('„,), ceux des points intermédiaires.

Si les rayons vecteurs c, ci, .... ('„-î, <'', relatifs au foyer F', vont en croissant, les rapports

ll\ — u II 2 — ll\ u — //»-l

auront tous l'unité pour limite, lorsque u croîtra indéfiniment; et comme le ra[)port

obtenu en divisant la somme des numérateurs par celle des dénominateurs, a une valeur comprise entre celles des premiers, il faut qu"on ait

-7 — I , d ou ic — V = u — V,

nvBF. Ylîl.

LES CODRBKS USUELLES.

3ll

La courbe est donc une li\ perbole, puisque la différence des rayons vecteurs reste constante.

Si les rayons vecteurs •', <'i, . . . , c,,-!, f' relatifs au foyer F' vont en décroissant, le raisonnement subsiste, à la condition de changer les sii^ncs des dénominateurs; on arrive ainsi à

r = I , d ou II -h 1' = Il -h v.

La courbe est donc une ellipse, puisque la somme des rayons vecteurs reste constante.

Enfin, si l'arc PQ était trop étendu pour que les rayons vecteurs relatifs au foyer F varient toujours dans le même sens, on décomposerait cet arc en plusieurs parties satisfaisant à la condition, et la somme (ou la différence] des rayons vecteurs re.>tanl constante dans chaque partie serait la même à l'origine P et à l'exlrémilé Q.

CoROLL.\lRKS.

1008. i" La droite F' cp qui joint un foyer F' dt l'Iiypeihole au symétrique 9 de l'autre joyer F par rapport à une tangente quelconque TT, passe par le point de contact de cette tansrente et est éi^ale à la lonp/ieur la de l'axe transverse

[Jig. 53i).

FiiT. 532.

2" Tous les points de la tani;ente MT, sauf le point M, sont extérieurs à l 'hyperbole, qui est, par suite, une courbe com^exe.

Mêmes dénionslralions que pour l'ellipse (981, 982), en remplaçant la somme des rayons vecteurs par \om diflérence.

1009. Si I ou mène au point M [Jig. r)32) une perpendiculaire MN à la langenle MT, les angles FMN, LMiN sont égaux

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

comme compléments d'angles égaux^onc, la normale à rhfpevbole est la bissectrice de l'angle jormé par l'un des rayons vecteurs du point de contact et le prolongement de l 'autre rayon.

La normale en un sommet de l'hyperbole se confond avec l'axe iraiisverse, et la tangente est perpendiculaire à cet axe.

Si une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers ou sont homofocales, elles se coupent à angle droit; car, en l'un quelconque des points d'intersection, la tangente de l'une est la normale de l'aun-e (980, 983).

Dans le cas de l'hyperbole, les rayons lumineux, sonores ou calorifiques, qui parlent de l'un des foyers F, s'éloignent de plus en plus de l'autre foyer F' après leur rétlexion sur la courbe; mais toutes leurs directions prolongées viennent y converger.

THÉORÈME

1010. Le lieu des points symétriques cp de l'un des foyers F par rapport aux tangentes est un cercle [directeur) décrit de l'autre foyer Y' comme centre avec la longueur ia de l'axe transverse pour rayon [Jig. 532) [984].

THÉORÈME

101 1 . Le lieu des projections des foyers d'une hyperbole sur

Fig. 533

ses tangentes est la circonjéience décrite sur l'axe Iransverse comme diamètre [fig- 532).