LIVRE VIll. — LES COURBES LSLELLES. 3l

On donne à celle circonférence le nom de cercle principal. Même démonsiraiion que pour l'ellipse (985).

THÉOR£ME.

1012. Le lieu des points éqiiidistdnts d'un cercle de cenlre F' et d'un point extérieur F est une hyperbole dont les points F et ¥'■ sont les foyers, et dont l'axe transverse est égal au rayon du cercle [fig- 53'5).

La tangente en un point quelconque M du lieu est la perpendiculaire sur le milieu K de la droite qui joint le point F à l'extrémité du rm on ¥' o passant par M.

Comme pour l'ellipse ^987 .

COKOLLAIRE.

1013. De là, pour l'hyperbole', un nouveau Iracé donnant à la lois le point et la tangente.

Décrivez le cercle directeur relatif à l'un des foyers F', c'està-dire le cercle dont le centre est F' et dont le rayon est égal à 1 a', joignez l'autre foyer F à un point quelconque o de ce cercle, et menez la perpendiculaire KT sur le milieu de Vo; cette perpendiculaire rencontre le rayon F'cp en un point M de l'hyperbole et elle est en outre la tangente en ce point.

M suit de cette construction que, sur loule droite indéfinie GG' passant par F', il y a deux points de l'hyperbole et seulement deux; ils oorrespondent aux deux points o et o' où le diamètre GG' coupe le cercle directeur.

SCOLIK.

lOH. Une droite OV est dite asymptote d'une branche infinie de courbe AL, si la distance MP d'un point qu('lcon(|ue M de la courbe à la droite tend vers zéro quand h» point M s'éloigne iniléfiniment en restant sur la courbe. ^

THÉORÈME

1015. L'hyperbole a pour asymptotes les perpendiculaires Ox et ()y abaissées du centre () sur les tangentes Fil', Tli,

(') Le théorème s'étend aux projecliont obliques (ii* 9S5).

3l4 GÉOMÉIKIE DANS LESPAGE.

menées par l un des foyers F au cercle direclear relatif à l'autre foyer ¥' [fig. 533).

En effet, remarquons d'abord que tout point de chacune des droites xx' et j/' est extérieur à la courbe, car, soit D, par exemple, un point quelconque de jj'; cette droite, étant parallèle à F' H et passant par le milieu de FF', passe par le milieu de FH; on a donc DF = DH, et, par suite,

I)F' - DF = DF' - DH < F' H ou ia.

En second lieu, il est facile de voir que, P désignant le point commun à GG' et HF, le point E où GG' rencontre la perpendiculaire élevée sur le milieu I de PF est intérieur à la courbe. Car on a

EF'— EF = EF - EP = F'P > :ta.

On conclut de là, en désignant par D' et D les points oîi GG' coupe xx' et jj', que les deux points (1013) M' et M, où GG' rencontre l'hyperbole, sont situés, l'un entre F' et D', l'autre entre D et E; car, en allant de F' en D', on passe de l'intérieur à l'extérieur, et en allant de D en E, on passe de l'extérieur à l'intérieur.

Cela posé, considérons, par exemple, le point M correspondant au point 9 du cercle directeur : pour que ce point s'éloigne indéfiniment sur la courbe, il faut et il suffit que les deux droites F'<p et KT, dont il est l'intersection, deviennent parallèles; et, comme la seconde est sans cesse perpendiculaire à Fcp, il faut et il suffit que F 9 devienne perpendiculaire à F'9, c'est-à-dire devienne la tangente FH au cercle directeur. Mais lorsque 9 tend vers H, PH tend vers zéro, et, comme en a

I PH = { FH - { FP = FC - FI =r IC,

IC tend aussi vers zéro; or, d'après l'alinéa précédent, le point M est situé entre D etE; sa dislance MO à 0/ est donc moindre que IC; donc MQ a pour limite zéro, et par suite Or' est asymptote

SCOLIES

lOlC. Il importe de remarquer que l'asymptote 0/ est la

LtvnK VIII.

LKS cuCKnes ubukules.

limite vers laquelle tend la tan<^ente KT ati point M, quand M s'éloigne indéfiniment sur la courbe ; car la langenle KM, étant sans cesse perpendiculaire sur le milieu de Ftp, devient à la limite la perpendiculaire élevée sur le milieu de FH.

1017. La droite OKj étant parallèle à F'H et. égale à sa moitié a, on voit que le cercle principal A A' [fig- 534) touche au point K la tangente FH au cercle directeur.

Fig. 534.

I"ig. 535.

Menons [Jig. 535) Ày perpendiculaire à FF' jusqu'à sa rencontre avec l'asymptote Or; puisqu'on a OK = n = OA, les triangles rectangles OAy, OKF sont égaux, et l'on en conclut 0y = 0F=6'.

Achevons le rectangle yy'ào' , et soient B et B' les points où l'axe non transverse rencontre yèely'o'; par analogie avec l'ellipse, on donne à la longueur BB' le nom de longueur de l'axe non transverse de l'hyperbole, et on la représente par ib.

Les trois longueurs a, b, c sont liées entre elles par la relation c'=z a'-+- b\ Elles sont liées dans l'ellipse par la relation c'=: a'— b\ qui ne diffère de la précédente que par le changement de b' en — b'. Par suite, les propriétés de l'ellipse et de l'hyperbole qui ne dépendent que des longueurs de leurs axes se déduisent les unes des autres par le simple changement de />' en — b'^.

3l6 GÉOMÉTRIE DA>S l'eSPACE.

Lorsqu'on donne les longueurs des axes de l'hyperbole, il est fiicile de déterminer graphiquement les foyers. On n'a qu'à élever à l'extrémité A de l'axe iransverse une perpendiculaire \y =: b [fig. 535) et à décrire du point 0 comme centre, avec Oy pour rayon, une circonférence qui coupe l'axe transverse aux deux foyers F et F'. On trouve en même temps l'asymptote Oy et sa symétrique Oy'.

1018. On appelle hyperbole (''qnilatère une hyperbole dont les deux axes ont la même longueur. Le rectangle yy'^è' [Jig. 535) devenant alors un carré, on voit que les asymptotes d'une hyperbole équilalère sont à angle droit l'une sur l'autre.

1019. (^)n entend par hyperboles conjuguées deux hyperboles qui, ayant les mêmes axes et, par suite, le même centre, la même distance focale et les mêmes asymptotes, sont situées par rapport à ces asymptotes dans des angles différents; c'està-dire que l'axe transverse de l'une est l'axe non iransverse de l'autre, et réciproquement [fig- 535).

Deux hyperboles conjuguées ne sont identiques et ne peuvent se substituer l'une à lautre par un quart de révolution, que lorsqu'elles sont équilatères (1018).

PROBLÈME

1020. Mener une tangente à l'hyperbole par un point donné. , Mêmes procédés que pour l'ellipse (989). Ici c'est la U"oisième

des inégalités du n''989, ?.", qui est satisfaite d'elle-même, puisque aeslmoindre que c, elqueletrianglePFF'donne2C<;PF H- PF'; les deux premières expriment (1005) que le point P doit être extérieur à l'hyperbole.

COKOLLAIRES.

1021. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à l'hyperbole est une circonférence concentrique à la courbe et ayant pour ra]on \/a— b' (91)0).

La démonstration directe est la môme que pour l'ellipse.

tIVRE Vm. — LES COURBES USUELLES. 3l7

Seulement, la question revient iri à chercher le lieu des milieux des cordes inierceplées dans le cercle directeur relatif au foyer F', par un angle droit dont le sommet F lui est extérieur. Le problème peut alors être impossible, et le lieu cesser d'exister, si l'on a a<Cb.

La tangente de l'angle aigu formé par l'asymptote Oy avec

1 axe iransverse étant représentée par -? le prijblemeesi impossible quand cet angle est supérieur à 45 degrés ou quand l'angle rO:r des deux asymptotes Jig. 535) est obtus: il est possible, au contraire, quand cet angle est aigu.

En effet, l'angle des deux asymptotes est précisément (1017) le supplément de celui des deux tangentes qu'on peuimenei* au cercle directeur F' par le foyer F. Or, ce n'est que lorsque l'angle de ces deux tangentes est obtus que les deux côtés de l'angle droit dont le sommet est en F peuvent rencontrer à la fois le cercle F'.

Lorsque l'angle des asymptotes est droit, celui des deux tangentes menées du foyer F au cercle directeur F' est aussi droit, et il n'y a pas d'autre angle droit circonscrit à l'hyperbole que celui de ses asymptotes. Ce résultat limite est d'ailleurs évident; car, la courbe étant alors équilatère (1018), on a a=zb, et le lieu se réduit au centre de l'hyperbole.

1022. Les tangentes PM, PM', menées à l'hyperbole par un point extérieur P, font des angles égaux ai'ec les droites qui vont du foyer P aux deux foyers ; la droite qui va du point P à l'un des foyers est bissectrice de l'angle intérieur ou extérieur des rayons vecteurs qui vont de ce foyer aux deux points de contact M et M', suivant que les deux tangentes touchent l'hypesbole dans la même région ou dans deux régions différentes.

Même démonstration que pour l'ellipse (991)^

Los propositions des n" 991 et 1022 conduisent à une démonstration très simple (Darbolx, Bulletin, l. XIV) de la condition pour qu'un quadrilatère, convexe ou non, soit circonscriptible à un cercle. Cette condition, d'abord mal énoncée par Pitot (Mémoires de V Académie, ij-aj), puis reclifiée [lar Stkinku (Jaiiriuil de Crcllc, t. 32), consiste en ce (pje :

UÉOMÉTRIB DANS l'KSPACE.

Dans tout quadrilatère drcnnscrit, Ui somme de deux côtés (opposés ou adjacents, suivant les cas) est égale à In somme des deux autres; et réciproquement.

La proposition directe est évidente; elle résulte immédiatement de l'égalité des deux tangentes menées à un cercle par un point extérieur. C'est la réciproque seule qui exige quelque attention pour être établie en toute généralité. ABCD étant le quadrilatère considéré, l'hypothèse consistera dans l'une des égalités