LIVRE Vlir. — LES COURBES USUELLES. lig

par lo centre de la courbe une parallèle à la droite donnée, elle ne tombe pas dans les angles des asymptotes qui renferment l'hypeibole. En elTet, pour que la perpendiculaire menée du foyer F à la droite donnée rencontre le cercle directeur F', il faut et il suffit que l'angle aigu de Fcp avec l'axe . Iransverse soit moindre que l'angle aigu que fait avec le même axe la tangente menée de F au cercle F'; or ces angles sont respectivement les compléments des angles aigus ô et ô que l'axe iransverse forme avec la droite donnée 1)1)' et avec les asymptotes; on doit donc avoir

^■ — o<-— ^, d'oùô>9.

Si la condition est remplie, il y a deux solutions T et T'. Pour d = 9, il n'y a plus qu'une solution : c'est l'asymptote à laquelle la droite donnée est alors parallèle.

Corollaires.

1024. Les deux tangentes parallèles à une droite donnée ont leurs points de contact symétriques par rapport au centre (993).

1025. Le produit des distances d' un foyer à deux tangentes parallèles ou le produit des distances des deux foyers à une même tangente est constant.

Conmie pour lellipse (995).

Les constructions des n'" 1020 et 1023 n'exigent pas que l'hyperbole soit tracée (996).

PROBLÈME

102G. Connaissant les foyers V et F' et l'axe transverse d'une hyperbole, déterminer ses points de t encontre avec une droite donnée.

.Même j)roci''dé que pour I ellipse ^997), seulement la discussion exige quelque attention.

Soient li l'hyperbole, d la droite donnée, o l'angle aigu de cette droite et de Taxe transverse, 6» l'angle aigu des asymptotes et du même axe.

320 GÉOMÉTRIE DANS l'e«P.\CK.

Les points communs à // ei a d sont les centres des cercles qui, louchant le cercle directeur F', passent par l'autre foyer F et par le point o symétrique de F par rapport à </. De plus, un point commun à // et à d appartient à l'une ou à l'autre branche de l'hyperbole, suivant que le cercle directeur F' est extérieur au cercle tangent ou est enveloppé par ce cercle.

Cela posé :

1° Si è est inférieur à 9, d coupe h en deux points situés sur deux branches distinctes ; car la droite indéfinie Fo étant alors extérieure au cercle F', il y a deux cercles tangents dont un seul enveloppe le cercle F'.

2° Si 0 est supérieur à 0, la droite indéfinie Fo coupe le cercle F', et il y a trois cas à distinguer. F'o étant inférieur à -xa, d ne rencontre pas II-, car o est alors intérieur au cercle F', et il n'y a pas de cercle tangent. F'o étant égal à ia, d touche li; car o est alors sur la circonférence F', et les deux cercles tangents se réduisent à un seul. Enfin, F'o étant supérieur à la, d coupe h en deux points appartetuait à une même hranc/ie; car o est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents qui enveloppent tous deux le cercle F' ou auxquels le cercle F' est à la fois extérieur, suivant que F' et o sont séparés ou non par le cercle F'.

5° Si 0 esl égal à 9, la droite Fo est tangente au cercle F', et il y a deux cas. Si d est une asymptote, ellr a deux points communs à l'infini avec li, puisque le point o est alors sur la circonférence F' et que les deux cercles tangents se réduisent à la droite Fo. Si d nest que parallèle à une asy^mptote, elle a avec V hyperbole deux points communs, dont un seul à distance finie ; car le point o est alors extérieur au cercle F', et il y a deux cercles tangents dont l'un se réduit à la droite Fcp.

Observons enfin qu'on peut donner d'autres formes aux énoncés des conditions précédentes, en introduisant la considération, soit de la parallèle menée par le centre à la droite donnée, soit des tangentes parallèles à celle droite. Par exemple.

LIVBE VIII. — LES COURBES LSUELLBS. 331

la condition o > 9 peut être remplacée par l'une des sim'vaiiles : la parallèle à d menée par le centre doit être comprise dans les angles des asymptotes qui ne renferment pas la courbe, ou la courbe doit avoir des tangentes parallèles à d.