PROPRIETES FONDAMENTALES DE LA PARABOLE

1027. La parabole est une courbe plane telle, que chacun de ses points est équidistant d'un point fixe et d'une droite fixe donnés dans son plan. Ainsi {fig- 587), le point fixe

Fig. 537

étant F et la droite fixe DD', on aura, pour tout point M de la panibole, en abaissant MH perpendiculaire sur DD', MF = MH Par sa définition même, la parabole est nécessairement siluéf tout entière du même côté que le point fixe par rapport à lu droite fixe.

D'après ce qu'on vient de dire, pour décrire un arc de parabole A'un momement continu, on fait coïncider l'arête

R. el DE C. — Tr. de Géom. (11* Partie). 21

323 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

d'une règle avec la droite DD', el l'on applique contre cette règle le petit côté KH d'une équerre KHG. Un fil, égal en longueur au grand côté HG de celle équerre, est fixé par ses deux extrémités, d'une part au point F, el de l'autre à l'extrémité G du côté HG. Si l'on tend alors constamment ce fil contre le grand côté de l'équerre à l'aide d'un crayon, et si l'on fait en même temps glisser l'équerre le long de la règle, la pointe du crayon décrit un arc de parabole. En effet, pour une position quelconque M de cette pointe, on a

GM -f- MF = GH = GM + MH, d'où MF = MH.

En opérant de celte manière, on trace d'un mouvement continu l'arc BA, (|ui va du point B de la courbe dont la dislance au point F est égale à GH, jusqu'au point A milieu de la perpendiculaire FL abaissée du point F sur la droite DD'. H faut ensuiie retourner l'équerre, comme l'indique la figure, pour décrire l'arc AB'.

On voit que la parabole est formée de deux branches qui s'étendent indéfiniment, à partir du point A, au-dessus et au-dessous de la droite FL; car, si l'on emploie une règle, une équerre el un fil assez longs, rien ne limite l'éloignement des points obtenus sur la courbe. La parabole est donc une courbe à branches infinies, mais sans séparation, et d'un seul côté de la droite fixe.

1028. Le point F est ]e foyer de la parabole, la droite DD' est sa directrice. La droite MF est le rayon vecteur du point M. La distance FL du foyer à la directrice se nomme le paramètre de la courbe, et on la représente par/?.

1029. On peut aussi tracer la parabole par points.

En eff'et, prenons {Jig. 538) un point P quelconque sur la perpendiculaire FL abaissée du foyer sur la directrice. Par le point P, menons une perpendiculaire à FL ou une parallèle à la directrice, el du foyer F comme centre, avec PL pour rayon, décrivons une circonférence qui coupera cette parallèle en deux pomls M et M' appartenant à la parabole, comme équidisiants du foyer et de la directrice.