LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLliS

l'oi-fJonnée MP. La projection TP sur i'axcOx de la portion de langenle MT comprise entre son point de contact M et son pied T sur cet axe s'appelle sous-tangente ; de même, PN est la sous-normale. Le triangle T.MN étant rectangle en M, etMP étant perpendiculaire sur l'hypoténuse TN, le théorème énoncé est démontré.

Au lieu d'axes rectangulaires, on peut employer des axes obliques. Les coordonnées d'un point sont encore ses dislances aux deux axes, mais comptées parallèlement à ces axes. Les projections ne sont plus alors orthogonales, mais obliques, et le théorème précédent cesse d'être vrai.

THÉORÈME

1045. Dans la parabole : i" la sous-tangente est double de l'abscisse du point de contact ; 2° la sous-normale est constante et égale au paramètre [fig. 54^^

1° Soit la tangente en M à la parabole. Si l'on prend pour axes coordonnés l'axe A^' de la courbe et la tangente au sommet A^', le point M aura MP pour ordonnée et AP pour abscisse. Le triangle TFVf étant isocèle (1037), la projccliou K du foyer F sur la tangente MT est le milieu de MT. La tangente au sommet AK >• étant parallèle à lordonnée MP, le sommet A est donc le milieu de la sous-tangente TP, et TP = 2AP.

I''ij. .5'|5.

3" Soit la normale M\. Elle est porpendiculaire à la t^ingente MT connue la droite Fo. La figure M^FN est donc uii jiaralb'Iogramme, et <pF r=:MN. Les doux triangles rectangles MPN, oLT, sont donc égaux, ol l'iin ;i f^N = LF=r/?.

GÉOMÉTRrE DANS l'eSPACE.

Corollaire.

1046, Le carré de l'ordonnée d'un point de la parabole est proportionnel à l'abscisse de ce point [fig. 546).

Soient y el x les coordonnées MP et AP d'un point quelconque M de la parabole. On a (1044, 1045)

;^' = TP.PN=2:c./> ou x^ = 2px.

PROBLÈME

1047. Mener une tangente à la parabole par un point donné. 1° Si le point donné M est sur lacourbe [fig. 546), on mène

le rayon vecteur MF et la perpendiculaire Mç sur la directrice; puis, la bissectrice de l'angle FMcp, qui est la tangente demandée (1033).

Il vaut mieux prendre sur l'axe, du côté du sommet, une longueur Fï égale à MF; en joignant le point T ainsi obtenu au point donné M, on a (1037) la tangente demandée.

2° Si le point donné P est extérieur à la parabole, on remarque que la question serait résolue si l'on connaissait le symétrique cp du foyer F par rapport à la tangente cherchée; car on aurait alors cette tangente en abaissant du point? une perpendiculaire TP surF^ [fig, 547). La droite ÏP coupe-

rail d'ailleurs la parallèle menéeà l'axe par le point cp, au point de contact M. Or, le point 9 se trouve à la fois sur la directrice

IIVÎIE VIII. — LKS COURBES ISLiaLES.

DD'fl03!)) eisurle cercle décrit du poinl P comme centre avec PF comme rayon.

Ce cercle et la direclrice se coupent toujours, quand le point P est extérieur à la courbe; car il est alors plus près de la directrice que du foyer (1031), et il y a deux solutions, qui se réduisent à une seule quand le point P est sur la parabole, ou disparaissent lorsqu'il est intérieur à la courbe.

ConOLLAIRES.

1048. Cherchons la condition pour que les deux tangentes menées du point P à la parabole soient à angle droit.

Ces tangentes étant supposées à angle droit, comme elles sont respectivement perpendiculaires aux milieux des droites Foet F9', l'angle 9F9' est aussi droit; par suile, 99' est un diamètre de la circonférence PF, et le point P est sur la directrice. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole est donc la directrice.

Dans ce cas, l'angle PFM est droit ainsi que l'angle PFM' (1035 ; la corde des contacts MM' passe donc alors par le foyer et est perpendiculaire à PF.

lOiO. Les tangentes PM, PM', menées d'un point extérieur P à la parabole^ font des angles égaux avec la droite qui joint ce point au foyer et avec la parallèle menée à l'axe par ce point ; la droite qui va du foyer au point P est bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs des points de contact M et M'.

Reportons-nous à la fg. 647, et soit PII la parallèle menée à l'axe par le poinl P. La tangente PMT étant perpendiculaire sur le milieu de F9, comme la tangente PM'T' sur le milieu de F9', les deux angles MPH, F99', ont leurs côtés respectivement perpendiculaires et sont égaux; la droite PM' est la bissectrice de l'angle 9'PF, et l'angle au centre M'PF, égal alors à l'angle inscrit F 99', l'est aussi à l'angle M PII. De plus, les angles PFM, PFM' sont respectivement égaux aux angles P9M,P9'M'. Or, le triangle 9 P9' étant isocèle, les angles P9M, P9'M' sont égaux comme composés d'angles égaux ; et leur égalité démontre celle des angles PFM, PFM'.

ÇÉOiHÉTRIE DA^'S l'eSPACE.

PROBLÈME

1050. Mènera la parabole une tangente parallèle à une droite donnée.

. Tout revient encore à trouver le point cp symétrique du foyer F par rapport à la tangente cherchée. Or, ce point se trouve à l'intersection de la directrice etde h perpendiculaire abaissée du foyer F sur la droite donnée. Il y a toujours une solution, et une seule.

SCOLIE

1051. Les constructions des n"' 1047 et 1050 n'exigent pas que la courbe soil tracée : il suffit d'en connaître le foyer et la directrice.

PROBLÈME

1052. Connaissant le foyer P et la directrice DD' d'une parabole, déterminer ses points de rencontre avec une droite donnée LL'.

Supposons le problème résolu, et prenons [Jig. 548) le symétrique 9 du foyer F par rapport à LL'. Si M est l'un des

Fig. 5/|8.

points de rencontre de la droite LL' avec la courbe, on aura M 9 = MF ^ MH, MH étant la perpendiculaire abaissée du point M sur la directrice. Le cercle décrit du point M comme centre, avec MF pour rayon, passe donc par les points F et 9 et est langent à la directrice. La question est ainsi ramenée à trouver le centre M d'un cercle passant par deux points don-