IV. — ELLIPSE CONSIDÉRÉE COMME PROJECTION ORTHOGONALE DU CERCLE
lOai. La projection orthogonale d'une circonférence de cercle sur un plan est une ellipse.
Les projections d'une figure sur deux plans parallèles étant égales, on peut toujours supposer que le plan de projection passe par le centre 0 du -cercle considéré ABA'B'.
Soient donc AA' le diamètre situé dans li,' plan de projection
336 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
el bOb' la projection du diamètre BB' perpendiculaire a AA'; l'angle ^OA sera droit, puisqu'il est la projection d'un angle droit BOA sur un plan contenant l'un de ses côtés.
M étant un point quelconque du cercle, et m sa projection, prenons, sur AA',OF = OF' égal à la projetante B6 du point B, et abaissons FG, F' G' perpendiculaires sur le diamètre MM'.
Il suffit de prouver que le rayon vecteur /?/F est égal à MG; car on prouverait de même que m F' est égal à MG', d'où l'on conclurait
mF + /7tF = MG + MG' = MG 4- MG = MM' = AA'.
Mais l'égalité m F = MG résulterait de celle des triangles rectangles m FM, GFM et, par conséquent, de l'égalité FG = Mm. Or cette dernière ressort immédiatement de la comparaison des proportions
MJP BO MPMO BO
Mm~ B// ¥G~ OF ^'^' B/»'
qui sont fournies, la première par les triangles à côtés parallèles MPm, B0/>, la deuxième par les triangles rectangles équiangleg MOP, GOF.
On voit que le grand axe de l'ellipse obtenue est toujours égal au diamètre du cercle donné. On a, de plus, dans le triangle rectangle B60 (70.5),
O/; = OB cos B06, ou b r= a cosV,
en désignant par la et ib les axes AA' et /'/>' de l'ellipse, el par V l'angle des plans des deux courbes.
Corollaires.
1053. L'ordonnée MP du cercle ( fig. 549) étant représentée par Y et l'ordonnée correspondante mV de l'ellipse par y, le triangle rectangle MmP donne
v=VcosV, c'est-à-dire fr^-Y.
On passe donc du ceicle principal d'une ellipse (985) à cette ellipse, en diminuaiu toutes les ordonnées du cercle dans le rapport du petit axe au grand axe. Celte remarque fournit un nouveau procédé pour décire l'ellipse par points.
