LIVRE VIII. — LES COURBES USUELLKS
On trace un cercle sur chacun des axes de l'ellipse comme diamètre (//^. 55o); un rayon quelconque coupe ces cercles aux points N et S. Si l'on mène alors l'ordonnée NP du point N et ki parallèle SM au grand axe, linlerseclion M de ces deux droites est un point de lellipse. On a, en edet,
MP = ^NP, c'est-à-dire MP=-XP.
ON a
105G. Si l'on considère sur l'ellipse et sur le cercle ib deux points M et S ayant la même ordonnée OQ, leurs abscisses a: et X sont liées par la relation
^ ON j, , ^ 6 V = TTC ' d ou \ = -x.
X Oï5 a
Pour passer de lellipse au cercle ayant le petit axe pour diamètre, il faut donc diminuer les abscisses de l'ellipse dans le rapport de b à a.
L'ellipse peut donc être regardée comme provenant de la contraction ou de la dilatation des cercles qtii ont ses axes pour diamètres.
SCOLIE
4057. On a démontré que le rayon vecteur F /« {fîg. 549) est égal à MG, c'esl-à-dire k a— OG ; mais les triangles équiangles MOP, GOF, donnent
on a donc
OG OP ,, . .,^ c.r ÔF=OM' ^'"" ^^ = V'
p /,i — a ~ — et, par suite, F'/;/ = a
PROBLÈME
iO">'ii. Mener à VelUpsc une tan'^cnte par un point donné.
1" Soit d'abord le point donné m situé sur la courbe.
Supposons le problème résolu {Jîg. 55i), et soit ni'ï la tangente demandée. Dilatons loule la figure, perpendiculairement à kk\ di\ns le lap. porl de OB à OA. L'ellipse deviendra le cercle AA', le point m devicndia le point iM, le point T ne changera pas, et la droite MT sera lu langonle au cercle principal. On déterminera donc réciproquement le point T en
R, et I)F. C. — Tr. de néom. ( II' Partip). ^- ^
GÉOMÉTniE BANS l'eSPACE.
construisant la tangente en M au cercle principal, et, en traçant wT, on aura la tangente à l'ellipse au point m.
Fig. 55o.
Fij. 55 1.
2" Soit maintenant le point donnée extérieur à l'ellipse [fig. 552). Supposons de même le problème résolu (yfg. 552) et soient R/«T, R/«'T' les tangentes qui répondent à la question. Dilatons la figure,
Fiff. 552.
comme dans le prenaier cas. L'ellipse deviendra le cercle A.V, la droite RBIv deviendra la droite B,K, et le point R, correspondant au point R, devant se trouver à la fois sur l'ordonnée PR et sur la droite B,K, sera déterminé. On en déduira les tangentes R, M T, R,M'T' au cercle principal et, par suite, les tangentes R//(T, Rwz'T' à l'ellipse, dont les points de contact m et m' se trouveront d'ailleurs sur les ordonnées des points M et M'.
PROBLÈME
10o9. Mener à V ellipse une tangente parallèle à une droite donnée (fg. 553).
LBS COURBES USUELLES.
Soit OD la droiie donnée [fg. 5:>3). Kn suivant toujours le môme procédé, on considère la droite quelconque BK qui coupe OD au point N ; à
cette droite BK correspond la droite B|K qui rencontre en N, l'ordonnée du point N. La droite ON,D, est donc celle qui correspond à OD. On n'a alors qu'à mener au cercle principal les tangentes MT, M' T', parallèles à ON|D. et à tracer, par les points T et T', des parallèles à OD qui sont les tangentes demandées ; leurs points de contact m et m' appartiennent aux ordonnées des points M et M'.
1000. Les constructions précédentes (10o8, 1059) n'exigent pas que l'ellipse soit tracée : il suffit que ses axés soient donnés.
PROBLÈME
lOGl. Connaissant les axes d'une ellipse, construire ses points iVintcrsection avec une droite donnée [fig. 554 ).
Fie. j5/|.
Soit DD' la droite donnée; son point L ne changera pas dans la dil.itaiion de l'ellipse. La droite quelconque BK rencontrant DD'au point C et dev&-
34o GÉOMÉTniE DANS l'ESPACK.
nant B.K, le point C devient C,. La droite LC, correspond donc à la droite DD' et, comme elle coupe le cercle principal aux points M et M', on n'a plus qu'.à ramener ces points sur DD', par des perpendiculaires à AA', pour avoir en lu et en m' les points demandés.
THÉORÈME
1062. Tous les diamètres de V ellipse sont des lignes droites passant par son centre.
On entend par diamètre d'une courbe le lieu des milieux des cordes de celte courbe parallèles à une direction donnée. Dans le cercle, tout diamètre est une droite perpendiculaire au système de cordes qu'ildiviseen deux parties égales (103) ou qui lui est conjugué.
Cela posé, tout système de cordes parallèles du cercle a pour projection un système de cordes parallèles de l'ellipse, projection du cercle. Les nailieux des cordes du cercle étant sur un même diamètre, les projections de ces milieux ou les milieux des cordes correspondantes de l'ellipse sont sur une même droite, projection du diamètre du cercle, c'est-à-dire passant par le centre de l'ellipse. Le théorème est donc démontré.
1003. RÉCIPROQUEMENT, toute droite passant par Ic centre de V ellipse est un diamètre de la courbe: car elle est la projection d'un certain diamètre du cercle dont l'ellipse est la projection. Les cordes conjuguées au diamètre de l'ellipse sont les projections des cordes conjuguées an diamètre correspondant du cercle.
Corollaires.
1064. On nomme diamètres conjugués deux diamètres tels, que chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Pour avoir deux diamètres conjugués dans l'ellipse, il suffit évidemment de projeter deux diamètres rectangulaires du cercle.
408o. La tangente à l'extrémité du diamètre du cercle, étant perpendiculaire à ce diamètre, est parallèle au système de cordes qui lui est conjugué. 11 en résulte que la tangente à l'extrémité d'u/i diamètre de l'ellipse est parallèle au système de coi d:s conjugué à ce diamètre.
1066. Si l'on mène deux tangentes à un cercle par un point extérieur, le diamètre mené à leur point de concours est perpendiculaire sur le milieu de la corde qui joint leurs points de contact. Par suite, si l'on mène ci une ellipse deux tangentes par un point exte'rieur, le diamètre mené à leur point de concours passe par le milieu de la corde qui unit leurs points de contact.
LIVnE VIII.
LES nOlRBE? LSLELLES.
3/xI
Nous renvoyons à l'Appendice pour le développement de la ihéorio des diamètres dans l'ellipse, l'hyperbole et la parabole.
THÉORÈME
1067. L aire de l'ellipse est la moyenne proportionnelle des aires des cercles construits sur ses deux axes comme diamètres.
L'ellipse donnée, dont les axes sonlar/et 26, peut être regardée comme la projection orthogonale d'un cercle de diamètre aa, dont le plan fait
avec celui de l'ellipse un angle V, tel que cosV = - (1054). D'après un
théorème connu (707 ), on obtiendra alors l'aire de l'ellipse en multipliant l'aire du cercle par cosV. On trouve ainsi, pour l'expression de cette aire,
~ab^ c'est-à-dire \/ r. cr .r. b^ .
THÉGRilME.
1068. Lorsque les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires Ox et Oy, un point quelconque M de cette droite décrit une ellipse dont les axes sont dirigés suivant Ox et 0 y, et ont pour demi-longueurs a et b les distances MA et MB du point M aux extrémités de la droite AB 'fig. 555).
llg. 5.33.
Prenons pour axes coordonnés ^104i) les deux droites 0.r et 0^-; les coordonnées du point M seront MP et OP. Par le point 0, menons ON parallèle à ABM, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée M P. La figure OAMN étant un parallélogramme,
3^2 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
ON sera égale à la longuour conslanle ÂM ou a. Les triangles rectangles semblables BPM, OPN, donnent d'ailleurs
MP BM .,„ b
lirFi=7v^j 0" MP=--^P.
NP OiS a
Le point M décrit donc l'ellipse (1035) dont le cercie ON est le cercle principal, et qui a' pour demi-axes a et b, c'est-àdire les dislances MA et MB.
Ce théorème donne un moyen pratique irès-simple de construire une ellipse par poinfs, à l'aide d'une bande de papier sur les bords de laquelle on marque les trois points A, B, M. Il existe un compas elliptique fondé sur ce même principe.
Corollaires.
1069. Considérons ijig. 556) la droite donnée dans les deux positions voisines ABM, A'B'M'. Sur les milieux de AA' et de BB', élevons les perpendiculaires aw et (3w qui se coupent en w. La perpendiculaire élevée sur le milieu de MM' passera par le point o). En effet, les deux triangles AmB, A'coB' élanl égaux, les angles ABw, A'B'w sont égaux. Les angles oiBM, oiB'M' le sont alors eux-mêmes comme suppléments d'angles égaux. Il en résulte l'égalité des triangles oi BM, où B' M' et, par suite, celle des distances wM, wM'.
Si l'on suppose maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M considéré comme fixe sur l'ellipse qu'il décrit, MM' tendra vers la tangente à la courbe en M, et la perpendiculaire élevéesur le milieu de MM' vers la normale au même point. D'ailleurs, œw et j'io) ont pourlimiies les perpendiculaires élevées en A et en B aux axes Oj et 0.r. En joignant le point I d'intersection de ces perpendiculaires au point M (//g'. 555), on aura donc la normale en M à l'ellipse tracée.
1070. 11 est utile de remarquer que /a longneurMl comptée sur là normale en M {Jig: 555^, est égale à la longueur du demi-diamètre qui est conjugué au diamètre OM.
Soit, en effet [Jig. 557), OM' le diamètre conjugué au diamètre OM; ce diamètre conjugué est parallèle à la tangente
