LIVRE VIII. LÈS COURBES USUELLES

en M (lOGd), c'esl-à-dire que la normale MI lui est perpendiculaire. De plus, le rayon du cerrie principal qui correspond à OM est parallèle à la position de la droite AB qui donne le point M de l'ellipse ;1068 , et le rayon de ce cercle qui correspond à OM' est de même parallèle à A'B'M'. Les diamètres conjugués del'ellipse répondant à des diamètres rectangulaires du cercle principal ;106'*), on en conclut que ABM est perpendiculaire à A'B'M'. Comme BI, d'ailleurs, est perpendiculaire à OB', les deux triangles MBI, M'B'O, qui ont le côié MB égal au côté M'B', ont leurs angles égaux [11] et sorti égaux ; par suite, M1=0M'.

PROBLÈME

1071. Étant donnés deux diamètres conjugués de l'ellipse en grandeur et en direction, construire les axes de la courbe. Soient {/îg-. 557) OM et OM' les demi-diamètres conjugués

donnés, dont les longueurs sont a' cl b'. En menant par le point M une perpendiculaire à OM' et en prenant sur celte perpendiculaire MI = />', nous aurons le sommeil du rectangle inconnu lAOB ^1070). Les sommets B et A de ce rectangle se trouvent à la fois sur le cercle circonscrit dont le diamètre esl 10 et sur la droiiequi unit le poinlMau cenlre K de ce cercle: ils sont donc déterminés. En joignanl ces points B 01 A au point 0,on a les axes de l'ellipse en direction ; de plus, MA et MB représentent leurs demi-longueurs (10G8, lOGl).

GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

THÉORÈME

1072. Quand les extrémités d'une droite AB de longueur constante glissent sur deux droites fixes quelconques Ox et Oy, un point quelconque M, lié invariablement à AB dans le plan AOB, décrit une ellipse [fig. 558).

Considérons une position quelconque de la droite AB et faisons passer un cercle par les trois points A, B, 0. Si l'on suppose ce cercle lié à la droite AB et entraîné dans son mouvement, il passera toujours par le point 0; car l'angle AOB, ayant pour mesure la moitié de l'arc invariable AB compris entre ses côtés, ne peut pas cesser d'être inscrit. Le diamètre OC de ce cercle, dans la position actuelle de la droite AB, s'obtient en élevant en B et en A, aux axes Ox et Oy, des perpendiculaires qui se coupent au point C.

Le cercle OC changeant de position en même temps que la droite AB, l'arc Al) qui sépare le point A d'un point quelconque 1) de sa circonférence reste constant; par suite, l'angle AOD restant lui-même constant et ayant son côté OA fixe, tout point D du cercle OC décrit une droite OY.

Si l'on trace le diamètre du cercle OC qui passe par le point